Inden for matematikken, og specifikt inden for algebraisk topologi, er Hurewicz' sætning et vigtigt resultat der giver en korrespondance mellem homotopigrupper og (singulære) homologigrupper af et topologisk rum. Sætningen er opkaldt efter den polske matematiker .
Sætningens formulering Lad betegne et stisammenhængende topologisk rum. Lad være et heltal, således at homotopigrupperne er trivielle for ethvert og . Da gælder, at de reducerede singulære homologigrupper er nul for ethvert , samt
Hvis har vi en isomorfi . Hvis har vi en surjektiv homomorfi , hvoraf kernen består af kommutatorne . Med andre ord har vi en isomorfi fra abelianiseringen af fundamentalgruppen til første reducerede homologigruppe. Der findes også en tilsvarende version af Hurewicz' sætning for relative homotopigrupper og relative homologigrupper.Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology (s. 365-367). Cambridge University Press.
Bevis Hurewicz' sætning kan bevises på flere måder. Blandt andet kan isomorfien konstrueres induktivt over ved at benytte sig af relationen hvor betegner løkkerummet af . Man kan dernæst konkludere ved brug af spektrale følger for homologi.Raoul Bott, Loring W. Tu (1982). Differential forms in Algebraic Topology (S. 225-226). Springer New York.
Alternativt kan man benytte sig af CW-approksimation for at antage at er et CW-kompleks. Ved hjælp af yderligere simplificeringer af (op til homotopiækvivalens) opstår en kanonisk korrespondance mellem og . Korrespondancen fremkommer når man betragter som et led i den lange eksakte følge for cellulær homologi og som et led i en lang eksakt følge for relative homotopigrupper. Den relative version af sætningen kan ved hjælp af cellulær approksimation reduceres til den absolutte version, og man kan dermed konkludere med én beviserne ovenfor.
Referencer
Kategori:Matematik Kategori:Formelle videnskaber