thumb|200px|16 kugler danner et kvadrat, hvor hver sidekant har 4 kugler. Inden for matematik er et kvadrattal et helt tal, der er kvadratet af et tal, med andre ord er det produktet af et tal multipliceret med sig selv. Eksempelvis er 9 et kvadrattal, da det er produktet af og kan skrives som .
Den normale notation for et kvadratet af et tal er ikke produktet , men ækvivalenten potens , der normalt siges som " kvadreret". Navnet kvadrattal henviser til, at et kvadrattals prikker eller kugler kan arrangeres som et regelmæssigt kvadratisk mønster.Smith, Anders: opslagsordet kvadrattal i Den Store Danske på lex.dk. Hentet 20. december 2020. Det betyder at det n-te kvadrattal har n prikker eller kugler i sine sider. Disse tal danner en klasse af figurtal på samme måde som trekanttal, kubiktal og andre polygontal.
Kvadrattal er har altid positivt fortegn. En anden måde at angive at et tal er et kvadrattal is at dets kvadratrod er et tal. Eksempel: = 3, så 9 er et kvadrattal. Kvadratet af et lige tal er altid et lige tal, mens kvadratet af et ulige tal altid er et ulige tal.
Et positivt tal der ikke har en perfekt kvadrattal som divisor, bortset fra 1, kaldes et kvadratfrit tal.
For et positivt tal , gælder det 'e kvadrattal er , hvor er det 0'te tal. Konceptet med kvadrat kan udvides til andre talsystemer. Hvis rationale tal inkluderes, så er kvadratet det same som forholdet mellem to kvadrattal, og modsat er forholdet mellem to tal det samme som kvadratet; eksempel: .
Startende med 1, er der kvadrattal op til og inklusive , hvor udtrykket repræseneterer heltalsdelen af x.
Aritmetiske egenskaber
Det n-te kvadrattal Kn kan skrives som en sum af de n første ulige tal. For eksempel, så er
Da det n-te ulige tal er 2n + 1, modsvarer denne egenskab ved kvadrattallene den rekursive sammenhæng
Ved at benytte at K1 = 1, kan alle kvadrattal heraf beregnes med addition. Den rekursive sammenhæng kan også illustreres geometrisk med figurerne Fil:Square number 1 with gnomon.svg Fil:Square number 4 with gnomon.svg Fil:Square number 9 with gnomon.svg Fil:Square number 16 with gnomon.svg
hvor det ulige tal der lægges til, er vist med de blå kugler. Dens rigtighed følger også algebraisk af definitionen som betyder at
Eksempler Kvadrattallene (sekvensen A000290 på OEIS) mindre end 602 = 3600 er:
02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81
102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361
202 = 400 212 = 441 222 = 484 232 = 529 242 = 576 252 = 625 262 = 676 272 = 729 282 = 784 292 = 841
302 = 900 312 = 961 322 = 1024 332 = 1089 342 = 1156 352 = 1225 362 = 1296 372 = 1369 382 = 1444 392 = 1521
402 = 1600 412 = 1681 422 = 1764 432 = 1849 442 = 1936 452 = 2025 462 = 2116 472 = 2209 482 = 2304 492 = 2401
502 = 2500 512 = 2601 522 = 2704 532 = 2809 542 = 2916 552 = 3025 562 = 3136 572 = 3249 582 = 3364 592 = 3481
De efterfølgende kvadrattal op til 100 er: 602 = 3600 3721, 3844, 3969, 4096, 4225, 4356, 4489, 4624, 4761, 4900 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5776, 5929, 6084, 6241, 6400 6561, 6724, 6889, 7056, 7225, 7396, 7569, 7744, 7921, 8100 8281, 8464, 8649, 8836, 9025, 9216, 9409, 9604, 9801, 10000
Forskellen mellem ethvert perfekt kvadrattal og dets forgænger er givet ved . Ligeledes er det muligt at beregne kvadrattal ved at addere det foregående kvadrattal, det sidste kvadrattals rod og den aktuelle rod, således; .
Sammenhæng med trekanttal thumb|180px|Summen af de to efter hinanden følgende trekanttal 10 og 15 giver kvadrattallet 25.
Hvert kvadrattal kan skrives som summen af et trekanttal og det foregående trekanttal, det vil sige
Det følger let fra den algebraiske sammenhæng
og kan geometrisk illustreres ved at arrangere kuglerne i de to trekanter med sidekanter n og n - 1 til at udgøre et kvadrat med sidekant n.
Trekanttallene kan også benyttes til at udlede formelen for summen av de n første kvadrattal. Den er
Denne formel for summen er samtidig det n-te pyramidetal baseret på en pyramide med kvadratisk grundflade. Det kan bevises ved induktion ved at
Da formlen er rigtig for n = 2, vil den derfor være rigtig for alle større værdier af n.
Geometrisk modsvarer denne rekursive relation, at summen Sn repræsenterer antal kugler i en pyramide bestående av n lag med kvadrat hvor hvert kvadrat har sidelængder fra 1 til n. Den kan bygges op fra en pyramide med Sn - 1 kugler ved at tilføje en ny, kvadratisk grundflade med n 2 kugler.
Ulige og lige kvadrattal
Kvadrater med lige tal er lige (og faktisk delelige med 4), da .
Kvadrater med ulige tal er ulige, da .
Det følger heraf, at kvadratrødder med lige kvadrattal er lige, og kvadratrødder med ulige kvadrattal er ulige.
Da alle lige kvadrattal er delelige med 4, er lige tal i formen ikke kvadrattal.
Da alle ulige kvadrattal har formen , er ulige tal i formen ikke kvadrattal.
Kvadrater med ulige tal har formen , da og er et lige tal.
Alle ulige kvadrattal er et centreret oktogontal. Forskellen mellem hvilke som helst to ulige kvadrattal er et multiplum af 8. Forskellen mellem 1 og ethvert højere ulige kvadrattal er altid otte gange et trekanttal, mens forskellen mellem 9 og ethvert højere ulige perfekt kvadrat er otte gange et trekanttal minus otte. Da alle trekanttal har en ulige faktor, men ingen to værdier af adskiller sig med et tal, der indeholder en ulige faktor, er det eneste kvadrattal på formen 1, og den eneste kvadrattal på formen er 9.
Særlige tilfælde
Hvis tallet er af formen hvor repræsenterer de foregående cifre, er dets kvadrat lig med hvor og repræsenterer cifre før 25. For eksempel kan kvadratet af 65 beregnes som , hvilket giver resultatet 4225. Hvis tallet er af formen hvor repræsenterer de foregående cifre, er dets kvadrat lig med hvor . For eksempel er kvadratet på 70 lig med 4900. Hvis tallet er tocifret og af formen hvor repræsenterer det sidste ciffer, er dets kvadrat lig med hvor og . Eksempel: Beregn kvadratet af 57: 25 + 7 = 32 og 72 = 49, hvilket giver 572 = 3249. Hvis tallet ender på 5, vil dets kvadrat ende på 5; tilsvarende for tal, der ender på 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, osv. Hvis tallet ender på 6, vil dets kvadrat ende på 6, og tilsvarende for tal, der ender på 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. For eksempel er kvadratet af 55376 lig med 3066501376, hvor begge ender på 376.
Fodnoter
Kilder
Kategori:Heltalsfølger