thumb|Argand-diagram: Et komplekst tal kan illustreres med et punkt (sort prik) i et talplan, hvor realdelen afsættes ud af førsteaksen (Re) og imaginærdelen afsættes op ad andenaksen (Im). Beliggenheden af de tre komplekse tal , og er angivet med farvede prikker. Ved et komplekst tal forstås en størrelse , som er en sum af to komponenter, ét reelt tal (realdelen) og et andet reelt tal (imaginærdelen) ganget med den imaginære enhedsstørrelse . Et komplekst tal kan derfor repræsenteres ved to reelle tal, og illustreres som et punkt i et koordinatsystem kaldet et Argand-diagram med en reel og en imaginær akse.
Et komplekst tal skrives på formen
hvor og som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben
Da det for ethvert reelt tal gælder, at , kan ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed. Populært omtales også som "kvadratroden af -1", og det er netop en af de kendetegnende egenskaber ved komplekse tal, at et komplekst tal opløftet i 2. potens kan blive et negativt tal (modsat de reelle tal hvor selv et negativt tal i 2. potens altid er et positivt resultat).
En stringent definition af de komplekse tal og den imaginære enhed gives i dette afsnit. Den historiske udvikling beskrives i det historiske afsnit. Endelig er der et afsnit om anvendelse i matematik, fysik og teknik.
Reelle kontra komplekse tal
Nedenstående figurer illustrerer løst forskellen på reelle og komplekse tal.
De reelle tal er en éndimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter på en tallinie. Addition svarer til en parallelforskydning langs linjen og multiplikation svarer til en strækning af linjen.
De komplekse tal er en todimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter i et talplan. Addition svarer til en parallelforskydning af planets punkter, mens multiplikation svarer til en strækning i kombination med en rotation af planets punkter.
Notation Mængden af komplekse tal betegnes med bogstavet C med dobbeltstreg. I matematisk litteratur optræder både rækkefølgerne og eller der veksles frit mellem dem. For at fremhæve den imaginære enhed , anbefales det, at symbolet skrives uden kursivering.
Inden for vekselstrøm og elektroteknik benyttes et kursiveret lille til at betegne tidsvariable strømstyrker. Man vil her oftest støde på betegnelsen for den imaginære enhed, selv om forvekslingsmuligheder næppe forekommer.
Her benyttes notationen .
Inden for de reelle tal er der tradition for at betegne variable med bogstaverne og ; inden for de komplekse tal anvendes traditionelt variabelnavne som og .
De to dele af det komplekse tal kaldes realdelen og imaginærdelen:
|Realdelen af :
|Imaginærdelen af :
Bemærk, at realdelen og imaginærdelen er reelle tal.
Entydighed
Fremstilling af et komplekst tal på formen er entydig. Antag nemlig, at der foreligger to fremstillinger: og Man kan da omskrive således:
hvoraf
Antag at . Ved division fås da, at
Brøken på venstre side er et reelt tal, medens højre side er imaginær. Antagelsen fører altså til en modstrid og må derfor forkastes, dvs. . Videre følger, at , så også . De to fremstillinger er altså ens.
Elementære regneregler for komplekse tal
thumb|300px|Summen af to komplekse tal og fås ved at addere deres real- og imaginærdele og kan derfor illustreres med det viste parallelogram.
Reglerne er helt de samme som for reelle tal, blot skal man erindre, at .
Vi betragter to komplekse tal,
og .
Kompleks addition:
Kompleks subtraktion:
Kompleks multiplikation:
Kompleks division:
Kompleks konjugering:
Det læses "z-streg". Bemærk, at divisionen udføres ved at forlænge brøken med nævnerens konjugerede tal.
Elementær regning med komplekse tal
De to sidste eksempler viser beregninger med to af kvadratsætningerne.
Definition af de komplekse tal
Tallegemet
Mængden af reelle tal er et eksempel på den matematiske struktur, som kaldes et (tal)legeme. Det betyder, at der findes to kompositionsregler kaldet addition (skrevet med symbolet '') og multiplikation (skrevet med symbolet ''), som opfylder følgende aksiomer, der kort beskrives ved hjælp af al-kvantor og eksistens-kvantor : (, +) er en kommutativ gruppe: Den associative lov er opfyldt: . Den kommutative lov er opfyldt: . Der findes et neutralt element for addition eller nulelement, nemlig tallet : . Alle elementer er invertible, dvs. har et modsat element: ; det modsatte element til betegnes , .
( er en kommutativ gruppe: Den associative lov er opfyldt: . Den kommutative lov er opfyldt: . Der findes et neutralt element for multiplikation eller et-element, nemlig tallet : . Alle elementer er invertible, dvs. har et reciprokt element: ; det reciprokke element til betegnes eller , .
Den distibutive lov er opfyldt, dvs. .
Tallegemet
Mængden af komplekse tal konstrueres ved at betragte mængden af reelle talpar og heri definere følgende to kompositionsregler:
|Addition:
|Multiplikation:
Talparret er nul-element og talparret er ét-element:
Man kan ved selvsyn kontrollere, at alle aksiomerne omtalt i forrige afsnit er opfyldt. Her følger et par eksempler:
Multiplikation er kommutativ fordi multiplikation (og addition) af reelle tal er det:
Multiplikation er associativ, da udregning af de to sider giver samme resultat: Venstre side:
Højre side:
De to resultater er ens.
Den associative lov vises ved tilsvarende (trælsomme) udregninger.
Modsat element Åbenbart er det modsatte element til elementet .
Reciprokt element Lad være et element forskelligt fra . Vi skal vise, at der findes et element så
Med anvendelse af produktdefinitionen fører dette til ligningssystemet
der har determinanten , som er et positivt tal. Ligningssystemet har derfor netop én løsning
Det reciprokke element er derfor entydigt bestemt til
Det reciprokke tal til er
Indlejring af de reelle tal i de komplekse tal
Vi betragter nu specielt den delmængde af de komplekse tal, hvis imaginærdel er nul. Reglerne for addition og multiplikation lyder da
|Addition:
|Multiplikation:
|Reciprok værdi:
På denne baggrund tillader man sig at identificere det komplekse tal med det reelle tal , og man siger, at mængden er indlejret i eller er en ægte delmængde af .
Medens de reelle tal er en ordnet mængde, dvs. for etvert talpar gælder, at enten er eller eller , så gælder intet tilsvarende for komplekse tal; man kan ikke om to givne forskellige komplekse tal sige, at det ene er større end eller mindre end det andet.
Den imaginære enhed i
Ifølge produktreglen gælder om det komplekse tal at
Det komplekse tal kaldes af historiske grunde den imaginære enhed og betegnes med :
Da man kan identificere med , når vi frem til ligningen
Et vilkårligt komplekst tal kan nu skrives på formen
eller kort
Introduktionen af den imaginære enhed medfører en skrivemåde for komplekse tal, som er mere praktisk anvendelig end den oprindelige definition med talpar og kompositionsregler. Eksempelvis er
.
Kartesisk og polær beskrivelse af komplekse tal
Kartesisk beskrivelse: Kompleks talplan
thumb|350px|Figuren viser et komplekst tal og dets konjugerede ; de to ligger symmetrisk omkring den reelle talakse. Desuden illustreres, at multiplikation med svarer til en drejning på og at multiplikation med (eller division med !) svarer til en drejning på .
Et komplekst tal kan naturligt illustreres med et punkt med koordinaterne i et koordinatsystem med den reelle akse som ordinat og den imaginære akse som abscisse. Dette talplan kaldes det komplekse eller det gaussiske plan eller argand-planet. Om baggrunden for disse betegnelser se det historiske afsnit.
Nogle geometriske fortolkninger:
Da , svarer kompleks konjugering, jfr. ligning , til spejling om den reelle akse. Da addition sker efter samme regel som for vektorer, kan en sum konstrueres som et parallelogram. Multiplikation med sker ved drejning på , division ved drejning på . Da , fås realdelen ved projektion af på den reelle akse. Da , fås imaginærdelen ved projektion af på den imaginære akse.
Endvidere ses det, at real- og imaginærdel kan udtrykkes ved og :
Polær beskrivelse: Modulus og argument
thumb|350px|Et komplekst tal kan fastlægges både ved sine kartesiske koordinater (som ) og ved sine polære koordinater (som )). Figuren viser modulus og argument for dels det komplekse tal , dels det konjugerede tal og dels for (med polære koordinater . Argumentet kan vælges at ligge i vinkelintervallet (brugt ved ) eller i intervallet (brugt ved ).
Et komplekst tal , som ikke er lig nul, kan ved siden af sine kartesiske koordinater også beskrives ved sine polære koordinater . Her betegner punktets afstand fra origo og er den vinkel, som liniestykket danner med den reelle akse, se figuren.
Den polære koordinat kaldes det komplekse tals modulus eller numeriske værdi eller norm og skrives
Den polære koordinat kaldes det komplekse tals argument og skrives
Her er den arcustangens-funktion, som beregner den vinkel, som en linje fra origo til punktet med koordinaterne danner med førsteaksen.
Det komplekse tal har modulus , men tillægges ikke noget argument.
Argumentet for et komplekst tal er en flertydig størrelse: Hvis er argument for , så kan også ethvert af tallene bruges som argument, fordi addition af et multiplum af ( eller i gradmål) udpeger den samme retning. Man vælger ofte at lade ligge i det halvåbne interval ( eller i gradmål ).
Multiplikation og division af to komplekse tal på polær form
De kartesiske koordinater for et komplekst tal med modulus og argument fås ved projektion på den reelle hhv. imaginære akse:
Tallet kan derfor skrives
.
Heraf finder vi, at produktet af to komplekse tal
bliver
hvor vi i den sidste omskrivning har anvendt to af de trigonometriske additionsformler. Man kan heraf konkludere, at
For gælder, at . Heraf slutter vi dels at
og dels at
Heraf følger
samt
Funktionen cis
Den irske matematiker William Rowan Hamilton, omtalt i det historiske afsnit, indførte hjælpefunktionen med komplekse funktionsværdier:
Navnet kan opfattes som en sammentrækning af cosinus, imaginær og sinus. Ved differentiation med hensyn til fås
Funktionen differentieres altså efter samme regel som en eksponentialfunktion.
Desuden har funktionen følgende egenskaber fælles med den naturlige eksponentialfunktion :
Anvendelse af medfører en kortere notation og forbedret læselighed, for eksempel kontra .
de Moivres formel og heltalspotenser
Hvis man i formlen for produktet af og sætter , får man
og for produktet af og fås
hvilket straks kan generaliseres til
Dette er de Moivres formel (udtales "dø mo-A-vre"). I udfoldet form lyder den
thumb|350px|Illustration af heltalspotenser af et komplekst tal , altså , , ... , ...
Med grå farve vises potenser af , hvor og og hvor potensen varierer fra til . Potenserne ligger alle på enhedscirklen.
Med cyan farve vises potenser af , hvor og og hvor potensen varierer fra til . Potenserne ligger alle på en indadsnoet logaritmisk spiral.
Med lysegrøn farve vises potenser af , hvor og og hvor potensen varierer fra til . Potenserne ligger alle på en udadsnoet logaritmisk spiral.
eller med anvendelse af -funktionen, jfr. definitionen
Opløftning af et komplekst tal til -te potens kan altså udføres ved at opløfte dets modulus i -te potens og gange dets argument med . Figuren viser nogle eksempler på mulige resultater.
Fordelen ved de Moivres formel for er, at man kan beregne resultatet uden først at skulle finde værdien af mellemliggende potenser , , ... . Ulempen er, at man skal benytte beregningstunge trigonometriske funktioner i beregningen af samt i bestemmelse af real- og imaginærdel.
For det komplekse tal er
Potenser af beregnet kartesisk og polært (med de Moivres formel) vises i tabellen herunder; resultaterne stemmer naturligvis overens.
{| class="wikitable" style="text-align: left;" |+ Potenser af |- ! style="width:20em;" |Potens ! style="width:20em;" |Kartesiske -potenser