Algebrassa rengas on kommutoiva (myös kommutatiivinen tai vaihdannainen), jos siinä määritelty kertolasku on vaihdannainen, ts. kertolaskun lopputulos on sama riippumatta siitä, kummassa järjestyksessä kerrottavat alkiot ovat. Jos on rengas, jossa on määritelty yhteenlasku () ja kertolasku (), niin on kommutoiva, jos mille tahansa alkioille pätee .
Esimerkkejä kommutoivista renkaista Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutoivan renkaan yhteen- ja kertolaskujen suhteen: reaalilukujen laskusääntöjen nojalla kahden kokonaisluvun kertolasku on vaihdannainen. Jäännösluokkarengas on kommutoiva kaikilla , sillä jäännösluokkien kertolasku määritellään , missä . Tällöin reaalilukujen laskusääntöjen nojalla myös .
Esimerkkejä ei-kommutoivista renkaista Reaalisten -matriisien rengas ei ole kommutoiva, sillä matriisien kertolasku ei yleisesti ole vaihdannainen. Esimerkiksi ja .
Huomaa, että ei-kommutoiva tai ei-kommutatiivinen eivät tarkoita samaa asiaa kuin antikommutoiva!
Suhde kokonaisalueeseen ja kuntaan Olkoon kommutoiva rengas. Merkitään renkaan yhteenlaskun neutraalialkiota (ns. nolla-alkio) :llä (ts. kaikilla ), ja kertolaskun neutraalialkiota (ns. ykkös-alkio) :llä ( kaikilla ). Tällöin Jos kaikilla ehdosta seuraa, että tai , niin on kokonaisalue. Jos kaikilla yhtälöllä on ratkaisu , niin on kunta. Jos on kunta, niin se on myös kokonaisalue, mutta kokonaisalue ei välttämättä ole kunta (esim. on kokonaisalue, muttei kunta).
Katso myös Ryhmä (algebra) Abelin ryhmä Kommutaattori (matematiikka)
Lähteet
Kirjallisuutta
Luokka:Rengasteoria