thumb|400px|Diagrammissa on jatkuvan satunnaismuuttujan kuvaaja, johon on väritetty näkyviin tapahtuman "todennäköisyysmassat". Väritetyn alueen määrätty integraalit eli kuvaajan pinta-alat ovat suhteessa tapahtuman todennäköisyyteen. Kertymäfunktio eli jakaumafunktio (, cdf) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä reaaliarvoisen satunnaismuuttujan todennäköisyyden jakautumista kuvaava funktio. Kertymäfunktion arvot ovat todennäköisyyksiä tapahtumissa, jossa satunnaismuuttuja saa reuna-arvon tai sitä pienempiä arvoja eli . Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kertymäfunktio määritellään tiheysfunktion määrätyn integraalin avulla ja diskreetillä satunnaismuuttujalla pistetodennäköisyyksien summana. Kertymäfunktio on aina oikealta jatkuva, vaikka tiheysfunktio tai pistetodennäköisyysfunktio olisi epäjatkuva.
Määritelmä Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään
missä on pistetodennäköisyysfunktion arvo ylärajaa pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.
Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään määrättynä integraalina ylärajan suhteen
missä on satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Tiheysfunktiota havainnollistetaan ajattelemalla sen arvoja "todennäköisyysmassan" korkeutena, missä suuri arvo merkitsee yleistä satunnaismuuttujan arvoa. Kertymäfunktion tapauksessa voidaan edelleen ajatella, että sen arvo tarkoittaisi "todennäköisyysmassan" kokonaismäärää kohdassa ja sitä pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.
Jos tiheysfunktio on jatkuva, saadaan se myös derivoimalla kertymäfunktio muuttujan suhteen
Merkintöjä Jos halutaan korostaa kertymäfunktion satunnaismuuttujaa, merkitään satunnaismuuttuja usein alaindeksiksi ja Toisinaan merkitään kertymäfunktio kreikkalaisella aakkosella (lue: "fii"), jos tiheysfunktio on ollut (pieni kirjain).
Esimerkkejä thumb|350px|Ylin kuvaaja esittää diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktiota, keskimmäinen jatkuvan satunnaismuuttujan ja alin sellaisen satunnaismuuttujan, jolla on kumpaakin piirrettä. Diskreetti satunnaismuuttuja Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktiolla saa 10 nollasta eroavaa arvoa
kun jotka ovat yhtä suuret eli Kertymäfunktio saadaan arvoa x pienempien kohtien todennäköisyyksien summasta eli
Tämän porrasfunktion arvot ovat oikealta jatkuvia ja sen kuvaaja on esitetty alla.
Jatkuva satunnaismuuttuja Tasaisen jakauman tiheysfunktio välillä [a,b] on
ja sen kertymäfunktioksi saadaan
Sen kuvaaja on alla.
Ominaisuuksia Funktiona Kertymäfunktio on kuvaus reaaliluvuilta välille , eli
Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio on jatkuva funktio. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on oikealta jatkuva porrasfunktio. Jatkuvuudesta seuraa ominaisuus
Tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa havainnollisemmin
Jatkuvan satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys eli arvo yksittäisessä pisteessä on siten nolla eli
Koska kertymäfunktion arvot ovat tapahtumien todennäköisyyksiä, saa se vain arvoja väliltä
Kertymäfunktio on lisäksi monotoninen funktio, joka on ei-vähenevä eli kun on . Tämän vuoksi kertymäfunktio kasvaa lopulta täyteen arvoonsa, kun ylärajaa kasvatetaan riittävästi
Kertymäfunktio alkaa nollasta jostakin arvosta a lähtien. Jos satunnaismuuttuja arvoalue on äärettömän laaja, voidaan tämä ilmaista
Todennäköisyyksinä Edellä esitelty määritelmä on eräs tapa ilmaista tapahtuma, jossa todennäköisyys lasketaan käyttämällä satunnaismuuttujan ylärajana eli
Voidaan osoittaa, että sillä voidaan laskea kaikki sellaiset todennäköisyydet, jossa tapahtumat ovat välejä. Esimerkiksi, koska mielivaltaiselle satunnaismuuttujan arvolle pätee
voidaan vastatapahtuman todennäköisyys laskea
Toisaalta, koska mielivaltaisille satunnaismuuttujan arvoille ja pätee
voidaan välin todennäköisyys laskea
Jos kertymäfunktio olisi määritelty toisella tavalla, olisi siihenkin voitu johtaa kaikkien muidenkin välien todennäköisyydet.
Lähteet
Luokka:Tilastotiede Luokka:Todennäköisyyslaskenta