二十進法

二十進法（にじっしんほう、）は、20 を底（てい）とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。

記数法 整数 数列

二十進記数法は、二十を底とする位取り記数法である。二十進法の位取りでは、通常では 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J の計二十個の数字を用い、十から十九までを A から J までに充てて、二十を 10 、二十一を 11 と表記する。なお、B と 8 、I と 1 が紛らわしいことを理由に、B や I を飛ばして、十一を C と表記したり、十八を J や K と表記したりする例もある。

数字の意味する数は、左に一桁ずれると 20倍になり、右に一桁ずれると 1/20 になる。例えば、(14)20 という表記において、左の「1」は二十を表し、右の「4」は四を表し、合わせて「二十四」を意味する。桁の表示は、整数第二位は「二十の位」、整数第三位は「四百の位」となる。

本節では慣用に従い、通常のアラビア数字は十進数とし、二十進記数法の表記は括弧および下付の 20 で表す。必要に応じて、十進記数法の表記を括弧および下付の 10 で表す。二十進記数法で表された数を二十進数と呼ぶ。

+ 数列の進み方 十進法 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 二十進法 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10

十進法 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 二十進法 J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 JA JB JC 十進法 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 二十進法 JD JE JF JG JH JI JJ 100 101 102 103 104 105

二十進法は「4×5＝10」となるので、5で割り切れる十進法（2×5＝10）との親和性が見られる。

また、7以降の素数は、一の位が 1, 3, 7, 9, B, D, H, J の八つの中のいずれか、即ち 5 と F を除く奇数になる。例えば： 十進法の23 → 二十進法では13 十進法の31 → 二十進法では1B 十進法の53 → 二十進法では2D 十進法の97 → 二十進法では4H 十進法の139 → 二十進法では6J となる。

+ イヌイット数字𝋀 𝋁 𝋂 𝋃 𝋄 𝋅 𝋆 𝋇 𝋈 𝋉 𝋊 𝋋 𝋌 𝋍 𝋎 𝋏 𝋐 𝋑 𝋒 𝋓012345678910111213141516171819

整数

二十進表記の整数は： (17)20 = 27 (1×201 + 7) (20)20 = 40 (2×201) (2H)20 = 57 (2×201 + 17) (3C)20 = 72 (3×201 + 12) (4F)20 = 95 (4×201 + 15) (74)20 = 144 (7×201 + 4) (88)20 = 168 (8×201 + 8) (DA)20 = 270 (13×201 + 10) (100)20 = 400 (1×202) (22F)20 = 855 (2×202 + 2×201 + 15) (34F)20 = 1295 (3×202 + 4×201 + 15) (468)20 = 1728 (4×202 + 6×201 + 8) (4J9)20 = 1989 (4×202 + 19×201 + 9) (50G)20 = 2016 (5×202 + 0×201 + 16) (D2A)20 = 5250 (13×202 + 2×201 + 10) (1000)20 = 8000 (1×203) (2340)20 = 17280 (2×203 + 3×202 + 4×201) (2BGG)20 = 20736 (2×203 + 11×202 + 16×201 + 16) (4GHA)20 = 38750 (4×203 + 16×202 + 17×201 + 10) (EBD7)20 = 116667 (14×203 + 11×202 + 13×201 + 7) (10000)20 = 160000 (1×204) を、それぞれ意味する。

整数の四則演算 十進法の 95 + 15 = 110 → 二十進法では 4F + F = 5A 十進法の 2016 - 27 = 1989 → 二十進法では 50G - 17 = 4J9 十進法の 72 × 28 = 2016 → 二十進法では 3C × 18 = 50G 十進法の 1728 × 10 = 17280 → 二十進法では 468 × A = 2340 十進法の 400 ÷ 4 = 100 → 二十進法では 100 ÷ 4 = 50 十進法の 2016 ÷ 12 = 168 → 二十進法では 50G ÷ C = 88

数字の使用例 マヤ文明では、二十進法の数詞に合わせて二十進記数法が用いられていた。マヤの数詞は五進法を補助的に含んでおり、数字にもそれが反映されている。貝殻で零、点で一、横棒で五を表し、二十に至ると桁を繰り上げる。桁は、大きい方が上で、小さい方が下となる。例えば、二十は貝殻の上に点一個で表記され、七十二は上に「三」(点三個)と下に「十二」(横棒二個の上に点二個)で表記され、二千十六は上段が「五」(横棒一個)と中段が「零」(貝殻)と下段が「十六」(横棒三個の上に点一個)で構成され、八千百六は最上段が「一」(点一個)、上から二段目が「零」(貝殻)、上から三段目が「五」(横棒一個)、最下段が「六」(横棒一個の上に点一個)で表記される。

この外には、イヌイット数字（:en:Kaktovik Inupiaq numerals）も二十進法を用いており、結び目模様が「零」、縦楔が「一」、横楔が「五」を表しており、一桁は二段構成となる。この表記法では、＼が「一」、Ｖが「二」、Ｗが「四」、＞が「十」、"＞"と"Ｖ"で「十二」となり、二十は「上段が"＼"で下段が"結び目模様"」として表記される。二十以後も、二階が「"＞"と"Ｖ"」で一階が「Ｗ」であれば二百四十四｛(C4)＝(244)｝を意味する。

十進数との互換 小数部分を十進数から二十進数に換算する場合には、整数部分はそのまま二十進数に変換し、小数部分は二十の累乗数を十進数に換算した数値を掛ける。

（例）十進数 3.14159265（円周率） 小数の分母：100000000 → 64000000（二十進換算値：1B50000 → 1000000） 14159265 × 0.64000000 = 9061929.6 → 9061929 9061929 = 2GCEG9 よって、3.14159265 ≒ 3.2GCEG9 となる。

小数 桁が一つ動く度に数が20倍変わるため、小数第一位は「二十分の一の位」、小数第二位は「四百分の一の位」となる。従って、二十進法の小数では：

(0.1)20 = 1/20 (1×20-1) (0.5)20 = 5/20 (5×20-1) (0.G)20 = 16/20 (16×20-1) (0.01)20 = 1/400 (1×20-2) (0.0C)20 = 12/400 (12×20-2) (0.7A)20 = 150/400 (7×20-1 + 10×20-2) (0.CF)20 = 255/400 (12×20-1 + 15×20-2) (0.001)20 = 1/8000 (1×20-3)

を、それぞれ意味する。

計算例 位数の関係 小数数の (22.F)20 は「855/20」を意味し、小数の (2.2F)20は「855/400」という意味になる。 従って、十進数の 42.75 は二十進数では (22.F)20 となり、十進数の 2.1375 は二十進数では (2.2F)20となる。 前者は 42 + 75/100 (= 3/4) と 42 + 15/20 (= 3/4) が同値となり、後者は 2 + 1375/10000 (= 1375/104 = 11/80) と 2 + 55/400 (= 55/202 = 11/80) が同値になるからである。 (22F)20 = 2×202 + 2×201 + 15 = (855)10 (22.F)20 = 2×201 + 2 + 15×20-1 = 42 + 15/20 = 855/20 = (42.75)10 (2.2F)20 = 2 + 2×20-1 + 15×20-2 = 2 + 40/400 + 15/400 = 855/400 = (2.1375)10

同じく、(25)20 は (45)10 を意味し、(2.5)20 は「45/20」、即ち (2.25)10 という意味になる。 (250)20 = 2×202 + 5×201 = (900)10 (25)20 = 2×201 + 5 = (45)10 (2.5)20 = 2 + 5×20-1 = 45/20 = (2.25)10 (0.25)20 = 2×20-1 + 5×20-2 = 40/400 + 5/400 = 45/400 = (0.1125)10

二十進数の (22.F)20÷(J)20 の商は (2.5)20 となるが、十進数では以下に相当する。 （数式A）二十進数：(22.F)20÷(J)20 = (2.5)20 （数式A）十進数：42.75÷19 = 2.25 （数式B）二十進数：(22F)20÷(J)20 = (25)20 （数式B）十進数：855÷19 = 45

素因数に5が含まれない累乗数の除算 六や十二の累乗数や、二の累乗数進法による累乗数などは、5で割り切れないが、二十進法では割り切れる（十進法も同様）。

1/5グロス（十進換算：144 ÷ 5） 二十進法：(74) ÷ 5 = (18.G) 1大グロス ÷ 十五（十進換算：1728 ÷ 15） 二十進法：(468) ÷ (F) = (5F.4) 2 ÷ 5（十進換算：256 ÷ 5） 二十進法：(CG) ÷ 5 = (2B.4) 6 ÷ 十五（十進換算：7776 ÷ 15） 二十進法：(J8G) ÷ (F) = (15I.8)

また、素因数が2と5なので、冪数以外でも、5が因数に含まれない数が被除数になると、割り切れる場合がある。 (3×B) ÷ (3×5)（十進法換算で 8019 ÷ 45） 二十進法：(100J) ÷ (25) = (8I.4)

一桁小数による分割 二十進法では (0.1) が「二十分の一」になるため、(0.4) は 1/5 になり、(0.5) は 1/4 になり、(0.A)（十進法で10/20）は 1/2 になる。 より派生して、(0.F)（十進法で15/20）は 3/4 に、(0.8)は 2/5 に、(0.C)（十進法で12/20）は 3/5 に、(0.G)（十進法で16/20）は 4/5 になる。

従って、ある数に (0.4) を掛けると1/5になり、(0.5)を掛けると1/4になり、(0.C)を掛けると3/5になり、(0.F) を掛けると3/4になる。

割分厘も、十進法の「2割5分」は「0.5」「5割」となり、十進法で3/8を意味する「3割7分5厘」は「0.7A」「(7割10分)」「7割A分」で小数第二位に収まる。

(I0)（十進法の360）を例に挙げる。 4と0.4、8と0.8で対比 除算：(I0) ÷ (5) = (3C)（十進法：360 ÷ 5 = 72） 一桁小数を掛ける：(I0) × (0.4) = (3C)（十進法：360の 1/5 は72） 一桁小数を掛ける：(I0) × (0.8) = (74)（十進法：360の 2/5 は144） 一桁整数を掛ける：(I) × (4) = (3C)（十進法：18×4 = 72） 一桁整数を掛ける：(I) × (8) = (74)（十進法：18×8 = 144） 同値の一桁小数で対比 除算：(I0) ÷ (4) = (4A)（十進法：360 ÷ 4 = 90) 一桁小数を掛ける：(I0) × (0.5) = (4A)（十進法：360の 1/4 は90） 一桁小数を掛ける：(I0) × (0.F) = (DA)（十進法：360の 3/4 は270）

同じく、桁の繰り上がりの例として、(4A)（十進法の90）を用いる。 乗算：(4A) × (10) = (4A0)（十進法：90×20 = 1800） 除算：(4A0) ÷ (5) = (I0)（十進法：1800÷5 = 360） 一桁小数を掛ける：(4A0) × (0.4) = (I0)（十進法：1800の 1/5 は360） 一桁小数を掛ける：(4A0) × (0.C) = (2E0)（十進法：1800の 3/5 は1080） 除算：(4A0) ÷ (4) = (12A)（十進法：1800 ÷ 4 = 450） 一桁小数を掛ける：(4A0) × (0.5) = (12A)（十進法：1800の 1/4 は450） 一桁小数を掛ける：(4A0) × (0.A) = (250)（十進法：1800の 1/2 は900）

小数との置換表 以下の表に、二十進法の小数と、それに相当する分数や商を掲載する。割り切れない小数の循環部分は下線で表す。二十は四と五では割り切れるが三では割り切れないので、三分割した際に循環小数になりやすい。

また、十進法は「10 - 1」が9で3の冪数になり、m/27の小数が37の倍数三桁が循環するのに対して、二十進法は「10 - 1」がJ（十進法の19）で3の冪数ではないので、1/9の循環小数は 0.248HFB…で六桁になり、三桁ごとに「248＝888の倍数か、その近隣の数」が現れる。 24は十進法の44（＝11×4）、248は十進法の888（＝37×3×8）、HFBは十進法の7111（二十進換算で HF4 + 7 = HFB。HF4 = 7104 = (888×8)）、6D6は十進法の2666（二十進換算で 6D4 + 2 = 6D6。6D4 = 2664 = (888×3)）となる。 1/9の近似値は二桁なら 100 → (11×4 = 44) = 24、三桁なら 1000 → (37×3×8 = 888) = 248 となる。 (1/27)の近似値も、1000から (37×8 = 296) = EG となり、循環節が「0EG 5IA 782 J53 E19 CBH」の十八桁だが、三桁ごとに「EG＝296の倍数か、その近隣の数」が現れる。先頭九桁を見ると、EG＝296の倍数は、5IA＝2370の近くに5I8＝2368（= (296×8)）が、782＝2962の近くに780＝2960（= (296×10)）が位置している。

二十進法の除算の特徴が現れる例は、「3で割り切れるが、2と5と9では割り切れない数」が被除数になるパターンが代表的である。このパターンでは、(10)以下の3の倍数で割り切れない数は9とI（十八）、4の倍数は(14)＝(24)まで全てで割り切れ、5の倍数は(1A)＝(30)までの全てで割り切れる例になる。

+二十進法の小数と除算（二分割から十分割まで）除数23456789A被除数が10.A0.6D6D…0.50.40.36D6D…0.2H2H…0.2A0.248HFB…0.2被除数が31.A10.F0.C0.A0.8B8B…0.7A0.6D6D…0.6被除数が842.D6D6…21.C1.6D6D…1.2H2H…10.HFB248…0.G被除数がD（十進法の13）6.A4.6D6D…3.52.C2.36D6D…1.H2H2…1.CA1.8HFB24…1.6被除数がI（十進法の18）964.A3.C32.B8B8…2.521.G被除数が10（十進法の20）A6.D6D6…543.6D6D…2.H2H2…2.A2.48HFB2…2被除数が13（十進法の23）B.A7.D6D6…5.F4.C3.GD6D6…3.5E5E…2.HA2.B248HF…2.6被除数が1A（十進法の30）FA7.A654.5E5E…3.F3.6D6D…3被除数が30（十進法の60）1A10FCA8.B8B8…7.A6.D6D6…6被除数が4A（十進法の90）251A12.AIFC.H2H2…B.5A9被除数が74（十進法の144）3C281G18.G1410.B8B8…IGE.8被除数がC9（十進法の249）64.A4332.529.G21.A1F.B8B8…1B.2A17.D6D6…14.I被除数が100（十進法の400）A06D.6D6D…504036.D6D6…2H.2H2H…2A24.8HFB24…20被除数が468（十進法の1728）23418G11CH5.CE8C6.H2H2…AG9C8C.G

+二十進法の小数と除算（十一分割から二十分割まで）除数BCDEFGHIJ1010.1G7590.1D6D60.1AF7DGI94C630.18B8B0.16D6D0.150.13ABF5HCI…0.1248HFB0.1110.130.591670.50.4C631AF7DGIG0.45E5E0.40.3F0.3ABF5HCIG…0.36D6D0.3330.380.EAI3C0.D6D60.C631AF7DGI940.B8B80.AD6D60.A0.984E2713A…0.8HFB240.8880.8D（13）1.3CEAI1.1D6D610.IB8B80.H6D6D0.G50.F5HCIG984…0.E8HFB240.DDD0.DI（18）1.CEAI31.A1.7DGI94C631AF1.5E5E1.41.2A1.13ABF5HCI…10.III0.I10（20）1.G75911.D6D61.AF7DGI94C6311.8B8B1.6D6D1.51.3ABF5HCIG…1.248HFB1.111113（23）2.IG7591.I6D6D1.F7DGI94C631A1.CH2H21.AD6D61.8F1.713ABF5HC…1.5B248HF1.4441.31A（30）2.EAI3C2.A2.631AF7DGI94C2.2H2H21.HA1.F5HCIG984…1.D6D61.BBB1.A30（60）5.91G7554.C631AF7DGI944.5E5E43.F3.ABF5HCIG9…3.6D6D3.33334A（90）8.3CEAI7.A6.I94C631AF7DG6.8B8B65.CA5.5HCIG984E…54.EEE4.A74（144）D.1G759CB.1AF7DGI94C63A.5E5E9.C98.984E2713A…87.BBB7.4C9（249）12.CEAI310.FJ.31AF7DGI94C6H.FE5E5G.CF.B5E.CIG984E27…D.GD6D6D.222C.9100（400）1G.7591G1D.6D6D1A.F7DGI94C631A18.B8B816.D6D61513.ABF5HCIG9…12.48HFB211.11110468（1728）7H.1G759746C.I94C631AF7DG63.8B8B5F.45851.CIG984E27…4G4A.III46.8

+二十進法の小数と分数（五分割まで）分数1/2 (= 2/4)1/32/31/43/41/52/53/54/5被除数が10.A0.6D6D…0.D6D6…0.50.F0.40.80.C0.G被除数が31.A120.F2.50.C1.41.G2.8被除数が842.D6D6…5.6D6D…261.C3.44.G6.8被除数がD（十進法の13）6.A4.6D6D…8.D6D6…3.59.F2.C5.47.GA.8被除数がI（十進法の18）96C4.AD.A3.C7.4A.GE.8被除数が10（十進法の20）A6.D6D6…D.6D6D…5F48CG被除数が13（十進法の23）B.A7.D6D6…F.6D6D…5.FH.54.C9.4D.GI.8被除数が1A（十進法の30）FA107.A12.A6CI14被除数が30（十進法の60）1A1020F25C141G28被除数が4A（十進法の90）251A3012.A37.AI1G2E3C被除数がI0（十進法の360）9060C04ADA3C74AGE8

+無理数の換算表主な無理数二十進法十進法円周率3.2GCEG9 GBHB74…3.141592 653589…2の平方根1.85DE37 JGEJA8…1.414213 562373…3の平方根1.ECG82B DDEG68…1.732050 807568…5の平方根2.4E8AHA B3J9F4…2.236067 977499…黄金比1.C7458F 5BJ9F4…1.618033 988749…

+ 5の冪数の逆数（分子・分母は十進換算値） 冪指数 -1 (1/5) -2 (1/25) -3 (1/125) -4 (1/625) -5 (1/3125) -6 (1/15625) 二十進小数 0.4 0.0G 0.034 0.00CG 0.002B4 0.000A4G 十進小数 0.2 0.04 0.008 0.0016 0.00032 0.000064 二十進小数の分子 4 16 64 256 1024 4096 十進小数の分子 2 4 8 16 32 64 二十進小数の分母 20 400 8000 160000 3200000 64000000 十進小数の分母 10 100 1000 10000 100000 1000000

+ 2の冪数の逆数（分子・分母は十進換算値） 冪指数 -1 (1/2) -2 (1/4) -3 (1/8) -4 (1/16) -5 (1/32) -6 (1/64) -7 (1/128) -8 (1/256) 二十進小数 0.A 0.5 0.2A 0.15 0.0CA 0.065 0.032A 0.01B5 十進小数 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625 二十進小数の分子 10 5 50 25 250 125 1250 625 十進小数の分子 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 二十進小数の分母 20 20 400 400 8000 8000 160000 160000 十進小数の分母 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000

除数が2の冪数の割り算における分子・分母の数値は、二十進法は十進法よりも六進法に近い。これは、二十（4×5）と六（2×3）が共に矩形数だからである。

計算表 ここではスキップ無しで、(11)を B 、(18)を I 、(19)を J と表記する。 二十進法の乗算の要領として、以下の点が挙げられる。

主要の段 半数はA（＝十）の段。 m/4 となる奇数｛5とF(＝十五)｝は、4の倍数を掛けると一の位が0になる。1/4となる5の段は一の位が5→A→F→0→5で循環し、3/4となるFの段は一の位がF→A→5→0→Fで循環する。 4の倍数｛4、8、C(＝十二)、G(＝十六)｝は、5の倍数を掛けると一の位が0になる。1/5となる4の段は一の位が4→8→C→G→0→4で循環、2/5となる8の段は一の位が8→G→4→C→0→8で循環、3/5となるCの段は一の位がC→4→G→8→0→Cで循環、4/5となるGの段は一の位がG→C→8→4→0→Gで循環する。 その他の段 他の段は、5の倍数を掛けると一の位が5, A, F, 0のどれかになる。 他の段は、4の倍数を掛けると、一の位が4, 8, C, G, 0のどれかになる。 末尾となるJ（＝十九）の段は、一の位と二十の位の和がJになる。 10－2となるI（＝十八）の段は、一の位は2ずつ減る。一の位はI→G→E→C→A→8→6→4→2→0の順に変化する。このうち、4の倍数を掛けると（即ち七十二の倍数）、一の位がCの段と同じくC→4→G→8→0→Cの順に変化する。 9の段は、偶数を掛けると、一の位の数は2ずつ減る。そして、4の倍数を掛けると、一の位はG→C→8→４→0の順に変化する。 B（＝十一）の段は、偶数を掛けると、二十の位は一の位の数の半分になる（例：(12)＝(22)）。そして、4の倍数を掛けると、一の位は4→8→C→G→0の順に変化する。 3の段は、4の倍数を掛けると、一の位がC→4→G→8→0の順に変化する。これに対して、6の段は、4の倍数を掛けると、一の位が4→8→C→G→0の順に変化する。 7の段とE（＝十四）の段は、3の倍数を掛けるとゾロ目になる。これは、(11)＝(21) になるため。

+ 加算表 + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 11 3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 11 12 4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 11 12 13 5 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 11 12 13 14 6 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 7 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 8 8 9 A B C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9 A B C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A A B C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B B C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A C C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B D D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C E E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D F F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E G G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F H H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 1G I I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 1G 1H J J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 1G 1H 1I