有向点族（ゆうこうてんぞく、directed family of points）とは、点列を一般化した概念で、ムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) により1922年に定義された。有向点族はネット (net)、有向点列、 Moore-Smith 列などとも呼ばれる。Term "net" はジョン・L・ケリーによって造語された。
点列との違いは添え字にあり、点列が自然数という可算な全順序集合の元で添え字付けられるのに対し、有向点族はより一般的な順序集合である（可算または非可算な）有向集合の元で添え字付けられている。
有向点族の概念の利点として以下の２つがある： 点列にある「可算性」、「全順序性」という束縛がなくなる。点列の場合はこうした束縛ゆえに定理を証明する際に空間に可算性に関する何らかの仮定（第一可算公理など）を課さねば源となる事があるのに対し、有向点族ではそのような条件なしに同様の定理が証明できる場合がある。 複数の収束概念を統一的に扱う事ができる。例えば点列の収束、実数値関数の収束、リーマン積分におけるリーマン和等は有向点族の収束概念の特殊ケースとみなせる。
特に重要なのは、開集合、閉包、連続性などの位相構造に関する概念を有向点族の収束性で特徴づけられる事である。それに対し点列の場合はその添え字の可算性ゆえ、同様の特徴づけを行うには空間の方にも可算性に関する条件が必要となる（詳細は列型空間を参照）。
なお、添え字集合を有向集合にした事は、位相空間上の各点の近傍系が有向集合である（詳細後述）事と相性がよく、これも点列概念の不十分さを解消する上で一役買っている。
点列の極限で位相構造を特徴づけられない例としては、整列順序集合[0,ω1]に順序から定まる位相を入れた空間がある。ここで ω1は最小の非可算順序数である。実際この集合においてω1は明らかに[0,ω1)の閉包に属しているにもかかわらず、[0,ω1)内のいかなる点列もω1に収束しない。なぜなら ω1の非可算性と「可算集合の可算和はまた可算集合になる」という事実により、 [0,ω1)内の任意の点列に対し、点列に属する点のいずれよりも大きい順序数α<ω1が存在するので、 ω1の開近傍(α,ω1]には点列の点が存在しえないからである。
点列概念から可算性を取り除くもう一つの方法として、1937年にアンリ・カルタンによって生み出されたフィルターの概念が知られているが、実はフィルターの概念は収束という観点から見た場合には有向点族の概念と実質的に同値である事が知られている。
定義 有向点族を定義する為、まず有向集合を定義する。詳細は有向集合の項目を参照。 有向集合 空でない集合 A とA 上の二項関係「≤ 」の組 (A, ≤) が有向集合（ゆうこうしゅうごう、directed set）であるとは、「≤ 」が反射的かつ推移的（つまり前順序）で、しかもA の任意の二元が上界を持つ事、すなわち任意の a, b ∈ A に対しあるc ∈ A が存在し a ≤ c かつ b ≤ c となる事をいう。有向集合は最大元を持つ場合もある。
有向点族とその収束の定義は点列とその収束性の定義を自然に有向集合の場合に拡張する事で得られる。 有向点族 位相空間X 上の有向点族（ネット）とは、ある有向集合 Λ から X への写像のことである。これをしばしば あるいは簡単に のように記して、Λ で添字付けられる有向点族などと呼ぶ。写像の入力変数（インデックス）であることを明示するために丸括弧の代わりにアングルブラケットを用いて と書いたり、代数トポロジーの慣例に倣って変数の位置に弾丸記号（ブレット）を用いて と表記することもある。
以下、a≥b を b≤aの単なる言い換えとして使用する。
有向点族の収束 位相空間X 上の有向点族 がX 上の点x に収束するとは、x の任意の近傍U に対し、 がU にほとんど含まれる事をいう。 ここで がX の部分集合Y にほとんど含まれる (eventually in または residually in) とは、ある λ ∈ Λ が存在し、γ ≥ λ を満たす全ての γ ∈ Λ に対し が Y に含まれる事を言う。
が に収束していることを、通常は以下のように表す。
空間 X がハウスドルフ空間である場合、収束するネットの極限は一意に定まる。その場合は矢印の代わりに等号を用いて のように記述できる。ただし、空間がハウスドルフでない場合は極限が一意とは限らないため、等号の使用は曖昧さを生む可能性がある。
集積点（無限に含まれる） を位相空間 X 内の有向点族とし、A を X の部分集合とする。<Lambda> の各元 α に対して、β ≥ α かつ を満たす <Lambda> の元 β が常に存在するならば、有向点族 は A に無限に含まれる (frequently in または cofinally in) という。 点 の任意の開近傍 に対して が に無限に含まれるとき、 はこの有向点族の集積点（cluster point または accumulation point）と呼ばれる。点 が の集積点であることと、 に収束する部分有向点族（後述）が存在することは同値である。
例 有向点族の例として以下のものがある。特に３番目の開近傍系の例は有向点族の概念の根幹に関わる重要な例であり、後述する位相構造の特徴づけでも本質的な役割を果たす。
(点列) 自然数の全体に通常の大小関係で順序を入れたものは有向集合であるので、任意の点列は有向点族である。定義より明らかなように点列(xn)の点列としての収束性と有向点族としての収束性は一致する。 (実数値関数の極限) 同様に実変数関数の極限limx→∞ f(x)も、有向点族の極限ととらえる事ができる。 (開近傍系) 位相空間上の点 a を固定し、a の各近傍U からxUを任意に選ぶと、は有向点族となる。ここで はa の近傍系である。実際上の向きをU ≥ V ⇔ U ⊂ V により定めるとが有向集合になる事を簡単に確かめる事ができる。なおこの例において、順序関係「≥」に関して大きなU を取ればとるほどxUはa の小さな近傍に属している事になる事からもわかるようにxU はa に収束する。 (リーマン和) リーマン積分の定義におけるリーマン和も有向点列の極限とみなせる。この例において考える有向集合は、積分区間の全ての分割が成す集合に包含関係が定める順序で向きを入れたものである。リーマン＝スティルチェス積分においても同様のことを考えることができる。
部分有向点族 を有向集合とし、 を以下の性質を満たす写像とするとき、 を の部分有向点族（）と呼ぶ。文献により定義の要件がいくつか異なるが、まずはスティーヴン・ウィラード（Stephen Willard）による定義を挙げる。
(単調性 / 順序保存性) 任意の に対し、 (共終(cofinal)性) 任意の に対し、ある が存在して、
主要な3つの定義の比較 部分有向点族（サブネット）の定式化には、主に以下の3つの定義が存在する。いずれの定義を採用した場合でも、「有向点族 の部分有向点族 が点 に収束する」ということと「 が の集積点である」という命題の同値性（位相空間のコンパクト性の特徴付けなど）は保持される。
1. ウィラードの定義（Willard-subnet） (1970) 写像 に対して「単調性」と「共終性」の両方を課す定義である。構造が最も見通しやすく、古くから標準的な教科書で採用されている。 2. ケリーの定義（Kelley-subnet） (1955) ジョン・L・ケリー（John L. Kelley）による定義であり、写像 に対し単調性を要求せず、以下の極限的な意味での共終性（最終的(eventually)な共終性）のみを要求する： 任意の に対して、ある が存在し、 が成り立つ。 ウィラードの定義よりも条件が緩やか（単調性が不要）であり、より広汎な写像を部分有向点族として許容する。 3. AA-subnet（Aarnes–Andenæs-subnet） (1957) J. F. Aarnes と P. R. Andenæs によって導入された定義であり、添字集合間の写像 を媒介とせず、フィルターの包含関係に似た形式で定義される。 有向点族 と に対し、 が の AA-subnet であるとは、 の任意の共終部分集合 について、 が の共終部分集合となることをいう。 AA-subnet は、有向点族とフィルターの間の自然な全単射対応（同値性）をきれいに保存するという数学的利点を持つ。
点列の部分列との違い 部分有向点族の概念は点列の部分列の概念の自然な一般化になっており、実際点列 の部分列 を考えた場合、添字集合間の写像 は上の条件を満たす。
しかし部分有向点族の定義は１つだけ点列の部分列の定義とは大きく異なる所があり、点列の部分列の場合は は必ず単射になるのに対し、部分有向点族の定義は が単射であることを要求しない。これはもし に単射性を要求すると病的な例（Tychonoff plank）のせいでいくつかの当然と思われる定理が成り立たなくなってしまうからである。（なお、 が単射である場合の部分有向点族を特に共終部分有向点族と呼ぶ。）
こうした差異が原因で、点列 を有向点族とみなした場合の部分有向点族は点列になっていない場合もあり得る。実際、 を の部分有向点族とすると、 が単射でないことから同じ が部分有向点族に複数回（場合によっては非可算無限回）登場するかもしれないし、 も全順序ではないかもしれない。
諸概念との関係
有向点族による位相構造の特徴づけ
概要でも記したように、有向点族の概念を用いる事で位相構造を特徴づける事ができる。ここでは閉包の特徴づけのみを説明するが、他の位相に関する概念、例えば閉集合、開集合、内点、外点、境界点も有向点族で特徴づけが可能である。
一方、点列の概念を用いた場合は閉集合と開集合を点列で特徴づけられるには空間が可算性に関する条件を満たす必要があるし、閉包が点列で特徴づけられるにはさらに厳しい条件が必要となる。（詳細は列型空間を参照）。
上の定理は以下のように非常に簡単に示せる。 まずよく知られているようにである事は以下と同値である： a の任意の近傍U に対し、 ...(2) これはU ∩ A に少なくとも一つ元が存在する事を意味するので、そのような元をx U とすると である事から はA 上にある。しかも前節で述べたように は有向点族でありしかもa に収束する。よって十分性が言えた。
逆にa に収束するA 上の有向点族(xλ)λ∈Λがあったとすれば、収束性の定義からa の任意の近傍U 内に有向点族の点xλが存在する。しかも仮定からxλ ∈ A でもあったので、これは(2)が成立する事を意味し、したがってである。こうして必要性も言えた。
有向点族による連続性の特徴づけ 連続性の概念も有向点族の概念を用いて以下のように特徴づける事ができる：
必要性 () の証明 が点 で連続であるとし、 を となるネットとする。 の任意の開近傍 に対し、 の での連続性により、写像による逆像 は の近傍となる。 したがって、 の内部 は の開近傍であり、収束の定義からネット はほとんど に含まれる。それゆえ、像のネット はほとんど に含まれ、これは の部分集合である。したがって となり、必要性が示された。
十分性 () の証明 すべてのネットに対して極限の保存が成り立つと仮定する。ここで が で連続でないと仮定して矛盾を導く。 が不連続であるならば、 のある近傍 が存在して、その逆像 が の近傍にならない。 のすべての開近傍の集合に包含関係の逆順序（）を入れたものは有向集合となる。 ここで、各開近傍 に対して、 は に包含されないため（さもなくば が近傍になってしまう）、 の元であって に属さない点 を選ぶことができる。これにより構築されたネット は、定義より明らかに に収束する。しかし、すべての に対して であるため、その像は となる。これは であるべきという仮定に矛盾する。したがって、 は で連続でなければならない。
ハウスドルフ性とコンパクト性の特徴づけ 有向点族の概念を用いると、位相空間上の以下の性質も特徴づける事が出来る：
なお、後者の事実の結論部分は点列コンパクトの概念における点列を有向点族に置き換えたものである。これはボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理やハイネ・ボレルの定理の一般化とみなすことができる。
をコンパクト空間とする。 内の任意のネット を考える。各 に対して、ネットの尾部集合の閉包を以下のように定義する。
閉集合族 の有限個の共通部分を考えると、<Lambda> が有向集合である（任意の有限部分集合が上界を持つ）ことから、それらの共通部分は常に空でない。空間 がコンパクトであるため、有限交差性により、すべての にわたる共通部分も空ではない。
この共通部分に属する任意の点 は、定義よりネット の集積点となる。集積点を持つネットは、その点に収束する部分有向点族を持つため（集積点の性質より）、必要性が示された。
しかし点列の場合はXに適切な仮定(例えば距離空間など)を置かない限り、必要条件でも十分条件でもない。
コーシー列との関係 距離空間あるいは一様空間においては、コーシー列とほぼ同様にしてコーシーネットを定義ことができる。この概念はにまで一般化することができる。
一様空間 上の有向点族（ネット） がコーシーネットであるとは、任意の近縁 に対し ある の元 が存在して、任意の に対して となることを指す。
トポロジー的ベクトル空間（TVS）は、すべてのコーシーネットが空間内の点に収束するとき、完備（）であると呼ばれる。ノルム空間においては、コーシー列の収束（列完備性）のみで完備性（バナッハ空間）を表現できるが、より一般的な（ノルム付け可能とは限らない）トポロジー的ベクトル空間の完備性を記述するには、コーシー列ではなくコーシーネットによる定義が不可欠となる。
普遍有向点族 位相空間X 上の有向点族(xλ)λ∈Λが普遍 (universal、完全またはウルトラネットとも)であるとは、X の任意の部分集合 A に対し、(xλ)λ∈Λが A にほとんど含まれるかもしくは A の X における補集合にほとんど含まれる事をいう。
有向点族に関する諸概念は基本的に点列に関する概念を焼きなおしたものであるが、普遍性の概念は、有向点族に固有のものである。普遍性を満たす点列は自明なもの（＝有限個を除いて常に同じ点を指す点列）のみである事が知られている。
任意の有向点族は普遍な部分有向点族を必ず持つ事が知られている：
不変有向点族の任意の部有向点族はまた不変有向点族となる。選択公理を仮定すると、すべてのネットはウルトラネット（普遍有向点族）である部分ネットを持つが、非自明なウルトラネットを具体的に書き下す手法は知られていない。
上記の定理の証明にはフィルターの概念を用いる為、証明は後の章に譲る。
なお上記の定理は部分有向点族の定義でh が単射でないものを許容した事を本質的に利用しており、もしh として単射なもののみを換算する事にすると上記の定理は成り立たない。反例として、(xλ)λ∈Λが点列である場合を考える。この場合、部分有向点族(x h(γ))γ∈Γ自身が部分列として必然的に点列になるが、この場合部分列(x h(γ))γ∈Γが普遍になるのは、それ自身が（前述の意味で）自明な点列である場合に限られる。しかしその場合のh は単射でない。h を単射に限定すると、部分列は決して自明な点列にはならない（すなわち普遍な部分有向点族にならない）。
なお、定義から明らかであるが、普遍有向点族の部分有向点族は普遍有向点族であるため、有向点族は必ず普遍有向点族を部分有向点族として、その普遍有向点族のさらに部分有向点族を取るとまた普遍有向点族になる。
コンパクト性への応用 普遍有向点族の概念を用いると、コンパクト性はさらに簡単に特徴づける事ができる：
なお、上述したコンパクト性の普遍有向点列による特徴づけを用いると、チコノフの定理（＝コンパクト空間の直積はコンパクト）がほぼ自明に従う。証明は以下のとおりである。まず複数の位相空間の直積
上の有向点族がY の点y に収束する必要十分条件は明らかに有向点族の各Xαへの射影がy のXαへの射影へ収束する事である。また、 内の普遍有向点族 と写像 に対し、合成されたネット もまた 内の普遍有向点族となる性質がある。
よって 全てのXαがコンパクト⇒任意のαに対し、Xα上の普遍有向点族は収束する⇒直積Y 上の普遍有向点族は収束する⇒Y はコンパクト。
すなわちチコノフの定理が言えた。
フィルターとの関係 有向点族が定義されたもともとの動機は「点列に関わる諸定理から可算性に関する条件を外す」というものであったが、同じ動機からフィルターという概念も生まれている。有向点族の概念とフィルターの概念は異なる研究者により同時期に独立に提案されたものであるが、実は収束性という観点から見たときには両者は実質的に差異がないものだという事実が知られている。
（以下、この節の記述はフィルターの基本的な知識を要求する。フィルターの項目も参照）。
以下の２つの定理はこの事実を定式化したものである。最初の定理は有向点族の収束はフィルターの収束によって捉えられる事を示しているこの定理とその証明は参考文献に挙げたPete Clarkの資料を参考にした。：
上の定理におけるＩは以下のように定義できる：
Ｉ((xλ)λ∈Λ)がフィルター基の定義を満たす事は簡単に示す事ができる。
次の定理は逆にフィルターの収束は有向点族の収束によって捉えられる事を示している：
ただしＩとＪは逆関数の関係にあるわけではなく、は常に成り立つがＪ（Ｉ（(xλ)λ∈Λ））＝(xλ)λ∈Λとは限らない。
Ｊの定義は若干複雑である。まずフィルター基に対し、集合を
により定義し、に順序関係
を入れると、は有向集合とみなせる。
そこで
を考えると、これはを添字集合とする有向点族とみなせるので、この有向点族をとする。
普遍部分有向点族の存在性定理の証明の概略
この定理の証明では上で作った関数ＩとＪ（を少し改変したもの）を用いる。
(xλ)λ∈Λを位相空間X 上の任意の有向点族とし、
とし、をより細かい極大フィルターとする。（このようなの存在性はツォルンの補題より容易に示せる。）
さらに添え字集合Γを
により定義し包含関係の逆順序とΛの順序の直積順序を入れ、h を
により定義すると有向点族(xh(γ))γ∈Γが(xλ)λ∈Λの部分有向点族となる事が簡単に確かめられる。しかもの極大性からこの有向点族の普遍性が従う。
脚注
参考文献
CONVERGENCE、Pete L. Clark著