『幾何学』（きかがく、La Géométrie （、ラ・ジェオメトリ））は、ルネ・デカルトの1637年の著書である。
この著作は、代数学と幾何学を1つの学問分野として統合するという考えを史上初めて提示したものであり "This short work marks the moment at which algebra and geometry ceased being separate."、これにより、代数幾何学という分野が創設された。これは、幾何学の問題を算術や代数学の問題に変えるという、当時としては画期的なものだった。また、ライプニッツやニュートンの数学的思考に影響を与え、微積分の発展に重要な役割を果たした。
内容 この著作は、『みずからの理性を正しく導き、もろもろの学問において真理を探究するための方法についての序説およびこの方法の試論（屈折光学・気象学・幾何学）』(Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la verité dans les sciences (La Dioptrique,Les Météores,La Géométrie))の一部として刊行されたものである。この本は、あらゆる主題について明晰さを得るための方法を提示したもので、序説である通称『方法序説』と、その方法の実践の成果を示すための『』(La Dioptrique)・『』(Les Météores)・『幾何学』(La Géométrie)の3つの付録からなる。
デカルトはこの本を、当時の学術出版において主流だったラテン語ではなく、フランス語で執筆した。その記述は明快からは程遠く、内容は体系的に整理されておらず、概して証明は要点を示すに留まり、詳細の多くは読者に委ねられていた。このようなデカルトの執筆姿勢は、本書中にも「私は全てを語ろうとはしなかった」「このことについてこれほど多く書くことについて、私は既にうんざりしている」のような度々現れる発言に表れている。デカルトは、記述を省略したり曖昧にしたりすることについて、「（読者が）自らそれを発見する喜びを与えるために意図的に省いたのだ」と述べて、それを正当化している。
この著作は、3つの巻(livre)からなるthis section follows 。
第1巻「円と直線だけを用いて作図できる問題について」 第1巻「円と直線だけを用いて作図できる問題について」(Des problèmes qu'on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites)において、デカルトは今日一般に用いられている代数記号を用いている。例えばラテンアルファベットの最後の方の文字である , , , ... は未知数を表し、最初の方の文字である , , , ... は定数を表す。また、累乗を現在用いられている指数表記で表した（ただし2乗については、 のように同じ文字を繰り返して書くという従来の表記法を維持した）。そして、を面積、を体積のように、累乗を幾何学的な対象と結びつけるという古代ギリシャからの伝統を打ち破り、これらを全て線分の長さとして扱った。これらのことにより、定規とコンパスで作図可能な図形を数と結びつけて記述することが可能となった。
第1巻の残りの部分は、「パップスの軌跡問題」のデカルトによる解法で占められている。これは、平面上に3本または4本の直線が与えられたとき、（指定された方向に沿って）2本の固定された直線からの距離の積が、3本目の直線までの距離の2乗に比例する（直線が3本の場合）か、あるいは他の2本の直線までの距離の積に比例する（直線が4本の場合）ように動く点の軌跡を求めるという問題である。デカルトはこの問題を解く際に、2本の線分を未知数 , として表し、既知の線分を, , などと表記した。
第2巻「曲線の性質について」 第2巻「曲線の性質について」(De la nature des lignes courbes)でデカルトは、彼が「幾何学的曲線」「機械的曲線」と呼んだ2種類の曲線について論じた。「幾何学的曲線」とは、今日の数学では2変数の代数方程式で記述される曲線であるが、デカルトはこれを運動学的に記述し、その本質的な特徴として、曲線上の「全ての」点がより低次の曲線からの作図によって得られることを挙げた。これは、定規とコンパスによる作図の枠組みを超えた拡張を意味する。や螺旋などのような、その一部の点しか作図できない曲線をデカルトは「機械的曲線」と呼び、数学的研究には適さないものとみなした。
またデカルトは、方程式が既知である曲線上の任意の点における法線を求める代数的手法を考案した。これにより、曲線への接線の作図が容易に行えるようになる。デカルトは、いくつかの曲線に対してこの手法を適用し、接線を求めた。
第3巻「立体またはそれ以上の立体の問題の作図について」 第3巻「立体またはそれ以上の立体の問題の作図について」(De la construction des problèmes solides ou plus que solides)は、幾何学的というよりは代数学的な内容であり、方程式の性質と解法について論じている。デカルトは、解法を容易にするために、方程式の全ての項を片方の辺にまとめ、それを0に等しいとすることを推奨している。また、多項式の因数定理を指摘し、次多項式が個の根を持つことについての直感的な証明を提示している。デカルトは方程式の負の根や虚数根について体系的に論じ、現在デカルトの符号法則として知られるものを明示的に用いた。
影響
直交座標系はデカルトにより考案されたとされ、「デカルト座標系」とも呼ばれる。これは関連する概念が本書の第1巻に現れるためであるが、現代的な直交座標系そのものが本書に現れるわけではない。それは、デカルトの業績を明確にし、それを解説しようとした数学者たちによって構築されたものである。
デカルトの理論の改良は、主にライデン大学の数学教授とその弟子たちによって行われた。ファン・スコーテンは1649年に『幾何学』のラテン語版を出版し、1659−1661年、1683年、1693年に改訂版を出した。1659−1661年版は全2巻からなり、ファン・スコーテンとその弟子たちによる豊富な注釈が加えられたことで、文量は原著の2倍以上になった。弟子の一人は、本書の注釈の中で、デカルトの接線法では困難だった多項式の重根を求める便利な手法を提示した。これは今日ではとして知られている。17世紀に確立した解析幾何学は、ファン・スコーテンらによる『幾何学』の注釈本の上に成りたったものである。
書誌情報
脚注 注釈
出典
参考文献
外部リンク Project Gutenberg copy of La Géométrie Bad OCR: Cornell University Library copy of La Géométrie Archive.org: The Geometry of Rene Descartes Facsimile (fr) : La Géométrie