アティヤ＝シンガーの指数定理（アティヤ＝シンガーのしすうていり、）とは20世紀数学を代表する定理の一つで、イギリスの数学者マイケル・アティヤとアメリカの数学者イサドール・シンガーによって1963年に発表された。
概要 この定理の最も重要な特徴は、一見するとまったく異なる二つの情報が、実は必ず一致することを示した点にある。一つは、ある種の方程式について「どれだけ本質的に異なる解が存在するか」という解析学的な情報であり、もう一つは、その方程式が定義されている空間全体の形や構造だけから分かる幾何学的・位相的な情報である。従来は別々の方法で調べられていたこれら二つが、本質的には同じ内容を表していることを明らかにした。
この発見によって、「方程式を直接解く」という解析学の問題を、「空間の形を調べる」という幾何学や位相幾何学の問題へと置き換えられる場合があることが分かった。そのため、この定理は解析学・幾何学・位相幾何学という三つの主要分野を深く結び付けた画期的な成果と評価されている。
指数定理はその後、多くの数学分野の発展の基礎となった。空間の分類、幾何学的構造の研究、さまざまな方程式の理論などに応用されるほか、現代物理学では量子場の理論やゲージ理論などにおいて重要な役割を果たしている。現代数学と理論物理学を結ぶ代表的な理論の一つとして位置づけられている。
この研究の功績により、マイケル・アティヤは1966年にフィールズ賞を受賞した。また、指数理論全体への貢献に対して、アティヤとシンガーは2004年にアーベル賞を共同受賞している。
位置づけ この定理は、スピンc多様体 の上の複素ベクトル束の間の楕円型微分作用素について、解析的指数と呼ばれる量と位相的指数と呼ばれる量とが等しいという定理である。解析的指数は与えられた楕円型微分作用素が定める偏微分方程式の解の次元を表す解析的な量であり、一方で位相的指数は微分作用素の主表象をもとにして多様体のコホモロジーを通じて定義される幾何的な量である。従って指数定理は解析学と幾何学という見かけ上異なった体系の間のつながりを与えているという意味で20世紀の微分幾何学における最も重要な定理ともいわれる。
マイケル・アティヤとイサドール・シンガーは本稿で述べる形の指数定理を1963年に発表Atiyah, Michael F. and Singer, Isadore M., The Index of Elliptic Operators on Compact Manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 69, 322-433, 1963.し、1968年には証明Atiyah, Michael F. and Singer, Isadore M., The Index of Elliptic Operators I Ann. Math. 87, 484-530, 1968. K理論を用いた指数定理の証明 M. F. Atiyah; G. B. Segal The Index of Elliptic Operators: II The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 87, No. 3 (May, 1968), pp. 531-545が刊行された。指数定理の特別な場合として、以前から知られていたガウス・ボンネの定理やヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理（ヒルツェブルフのリーマン・ロッホの定理）などが含まれていると理解できる。さらに、1950年代の終わりに得られていた（グロタンディークのリーマン・ロッホの定理）はこの定理の定式化に大きな影響を与えたとされ、グロタンディークが代数多様体に対して用いたK理論の構成を微分多様体に対して実行することが指数定理の定式化・証明における重要なステップをなしている。またアティヤ-シンガーによる枠組みの一般化として群が作用している場合や、楕円型微分作用素を持つ多様体が、ある多様体によってパラメーター付けされた族として与えられている場合、葉層構造によってパラメーター付けが与えられている場合などに指数定理が一般化されている。
楕円型微分作用素 n 変数 x1, ..., xnに関する最大p 階の偏微分作用素
が与えられたとき、各 k について xkに関する偏微分作用素を式中の表記上新たな変数 ykに置き換えることで、2 n 個の変数x1, ..., xn, y1, ..., yn についての関数
が得られる。これは D の表象 (symbol) と呼ばれる。また、y変数に関する最高次の部分
は D の主表象 (principal symbol) と呼ばれる。y 座標がすべて 0 でない限り主表象が 0 にならないような作用素 D は楕円型と呼ばれる。例えば
がそうである
一般にx に関する座標変換の下での偏微分作用素の変換規則はジェットベクトルの変換則になり、低次の項まで含めた表象に対する変換規則は複雑なものになるが、最高次の部分である主表象に関する変換則は共変ベクトルに関するものと同じになり、主表象は余接束上の関数と考えるのが幾何的に自然な解釈となる。従って D が一般の多様体の上でベクトル束の切断の間の擬微分作用素として定義されている場合にも楕円型作用素の定義は意味を持つ。多様体 M とその上の楕円型微分作用素 Dについて Dの主表象 σ(D) は余接束の全空間 T*M の K群 K0(T*M) の元を表していると見なすことができる。
楕円型微分作用素の例としてディラック作用素、符号作用素、複素多様体上の正則ベクトル束から定まるドルボー作用素などが挙げられる。
解析的指数 M をコンパクトな多様体、E, F を M 上の複素ベクトル束とし、楕円型微分作用素D: Γ(M, E ) → Γ(M, F) が与えられているとする。このときD はパラメトリックスをもつのでフレドホルム作用素と見なすことができ、dim(ker D) と dim(coker D) は有限になる。Dの解析的指数は Inda D = dim(ker D) − dim(coker D) と定められる。
位相的指数 上の記号の下で、Dの主表象σ(D) はK0(T*M) の元を与えているが、これをチャーン指標 ch を通じてコホモロジー群の元 ch(σ(D)) ∈ H*c(T*M) として表示できる。さらに、コホモロジーにおけるトム同型 φ: H*c(T*M) → H*(M) によって M のコホモロジー類 φ ch(σ(D)) が得られる。D の位相的指数は、M のトッド類 Td(M) と φ ch(σ(D)) とのカップ積を基本類とペアリングさせることによってえられる
として定められる。
発展 アティヤ＝シンガーの指数定理は、その後の現代数学における指数理論の出発点となり、多数の一般化・拡張が行われた。1960年代後半には、単一の作用素ではなく連続的に変化する作用素の族全体を扱う族指数定理（Families Index Theorem）が確立され、指数が整数ではなく K理論 の元として記述されることが示された。この理論はベクトル束やモジュライ空間の研究に重要な役割を果たしている。
また、境界をもつ多様体に対しては、1975年にアティヤ＝パトディ＝シンガー指数定理が証明された。この定理では、境界上に現れるスペクトルの非対称性を表す η（イータ）不変量 が導入され、従来の指数定理を境界付き多様体へ拡張した。この η 不変量は、その後、微分幾何学・トポロジー・理論物理学において独立した重要概念となった。
1980年代以降には、指数理論は非可換幾何学へと発展した。アラン・コンヌは作用素環を用いて空間を記述する枠組みを構築し、アティヤ＝シンガーの指数定理を非可換空間へ一般化する指数定理を確立したAlain Connes, Noncommutative Geometry, Academic Press (1994).。これにより、従来の微分幾何学では扱えない対象にも指数理論を適用できるようになった。
応用 アティヤ＝シンガーの指数定理はゲージ理論において、反自己共役接続のモジュライ空間の形式的な次元の計算などさまざまな部分に応用される。
一般に、古典的な理論で成立する対称性が量子化によって破れることを量子異常またはアノマリーという。 代表的なアノマリーとして、カイラル・アノマリー、重力アノマリー、パリティ・アノマリーなどがある（詳細はアノマリーの項を参照)。アティヤ＝シンガーの定理を使うと、アノマリーに幾何学的な意味を与えることができる。
脚注
参考文献