代替文=モーダスポネンスを用いた推論の図|サムネイル|論理学では、モーダスポネンスのような形式的に妥当な推論を研究する。 論理学（ろんりがく、、、、、）は、正しい推論の研究である。形式論理学および非形式論理学が含まれる。形式論理学は、演繹的に妥当な推論あるいは論理的真理の研究である。論証の議題や内容とは無関係に、論証の構造のみにより、前提からどのように結論が導かれるかを研究する。非形式論理学は、非形式的誤謬、批判的思考、議論学と関わりがある。非形式論理学は自然言語で記述される論証を研究する一方、形式論理学は形式言語を用いる。各形式論理体系は、を記述する。論理学は、哲学、数学、計算機科学、言語学を含む多くの分野で中核をなす。
論理学は、前提の集合および結論からなる論証を研究する。論証の例には、前提「今日は日曜日である」および「今日が日曜日であれば、私は働かなくて良い」から結論「私は働かなくて良い」を導くものがある。前提および結論は、命題あるいは真理適合的な言明を表現する。命題の重要な側面は、その内部構造にある。例えば、複合命題は、 (かつ) や (...ならば...) のような論理語彙で接続された単純命題から構成される。単純命題も、「日曜日」や「働く」のような各部分に分解できる。命題の真偽は、通常、その各部分すべての意味に依存する。ただし、論理的に真の命題はその各部分の具体的な意味とは無関係にその論理的構造のみによって真であるため、これに当てはまらない。
論証には、正しいものと正しくないものがある。論証は、前提が結論を支持する場合に正しい。演繹的論証は、前提が真である場合、結論も必然的に真であるため、結論の支持が最も強い。一方、前提に含まれない新しい情報を含む結論が帰結するでは、同様の強い結論の支持が存在しない。日常対話および自然科学で見られる多くの論証は、拡充的論証である。拡充的論証は、帰納的論証および遡及論証に分類される。帰納的論証は、多くのカラスの個体を観察してすべてのカラスが黒いと結論するような、統計的一般化である。遡及論証は、医者が患者の症状をうまく説明する診断を下すような、最良の説明への推論である。正しい推論の水準に満たない論証には、多くの場合、誤謬が含まれる。論理体系は、論証の正しさを評価する理論的枠組みである。
論理学は、古代から研究されてきた。論理学の初期の成果には、、、ニヤーヤ学派、墨家がある。アリストテレス論理学は、三段論法の形式を取る推論を研究する。アリストテレス論理学は、ゴットロープ・フレーゲら19世紀後半の数学者の業績を起源とする現代の形式論理学に取って代えられるまで、西洋で主要な論理体系とみなされてきた。今日、最も用いられる論理体系は古典論理である。古典論理は、命題論理および一階述語論理からなる。命題論理は完全な命題の論理的関係のみを対象とする一方、一階述語論理は述部や数量詞のような命題の各部分も研究する。拡張論理は、古典論理の基礎となる基本的な直感を受け入れ、これを形而上学、倫理学、認識論などの別の分野に拡張する。一方、は、古典論理で用いられる直感の一部を却下し、論理学の基本法則への別の説明を提示する。
定義 「」は、「理性」「言説」「言語」などの訳語が充てられる古代ギリシア語の「ロゴス（）」を語源とする。論理学は、歴史的にはあるいは正しい推論の研究と定義され、推論あるいは論証の観点から理解されてきた。論証は、推論を表現する。論証は、前提の集合および結論からなる。論理学は、論証が正しいかどうか、つまり、論証の前提が結論を支持するかどうかを研究する。形式論理学および非形式論理学はどちらも論証の正しさの評価を対象とすることから、この大まかな論理学の定義は、形式論理学および非形式論理学を含む広義の論理学に当てはまる。形式論理学は歴史的に深く研究されてきた論理学の分野であり、一部の論理学者は、形式論理学のみを論理学の範囲と捉えている。
形式論理学
形式論理学は、記号論理学とも呼ばれ、数理論理学で広く用いられる。形式論理学では、推論の研究に形式的なアプローチを取り、具体的な表現を抽象的な記号に置き換え、論証のをその具体的な内容から独立して研究する。形式論理学は、論証の抽象的な構造のみに注目し、その具体的な内容には注目しない。この点で、形式論理学は論証の抽象的な構造のみに注目し、その具体的な内容を考慮しないことから、内容独立的であるといえる。
形式論理学は、演繹的に妥当な論証を研究する。演繹的に妥当な論証では、前提が真であることが結論が真であることを保証する。これは、前提が真であり、かつ、結論が偽であることが不可能であるということを指す。妥当な論証では、前提および結論の論理的構造は、推論規則と呼ばれる規則に従う。例えば、モーダスポネンスは、「(1) ; (2) であれば ; (3) したがって、」の形式を取るあらゆる論証が、名辞 および の指示対象にかかわらず妥当であるという推論規則である。この点で、形式論理学は妥当な推論の研究と定義できる。別の定義では、論理学は論理的真理の研究であるとされる。命題の真偽がその命題の持つ論理語彙のみに依存する場合、その命題は論理的に真である。論理的に真の命題は、言明「今雨が降っている; または、今雨が降っていない」のように、あらゆる可能世界、および、命題の論理項以外の要素のあらゆるのもとで真である。これらの2つの形式論理学の定義は同一ではないが、深い関連がある。例えば、 から への推論が演繹的に妥当であれば、言明「 であれば 」は論理的真理である。 代替文=一階述語論理に変換された英語の文の図|サムネイル|形式論理学では、自然言語で記述された論証の妥当性を評価するには、まず論証を一階述語論理などの形式言語に翻訳する必要がある。この例では、文字 は「Carmen (カルメン) 」、文字 および はそれぞれ「Mexican (メキシコ人) 」および「teacher (教師) 」を指す。記号 は「and (かつ) 」を意味する。 形式論理学では、形式言語を用いて論証を記述・検討する。形式言語は、通常、非常に少ない語彙および厳密な統語規則を持つ。統語規則は、記号を組み合わせて文 (と呼ばれる) を定立する方法を定義する。この形式論理の単純さと厳密さにより、推論規則の正確な定義が可能となる。推論規則は、論証の妥当性を決定する。形式論理学は形式言語に依存するため、自然言語で記述された論証を直接研究することはできない。自然言語で記述された論証の妥当性を評価するには、まずそれを形式言語に翻訳する必要がある。
各論理体系は、妥当とみなす推論規則や用いる形式言語の点でそれぞれ異なる。19世紀後半より、多くの新たな形式体系が提案されてきた。形式体系を論理体系とみなす基準には合意がない。例えば、一階述語論理のような論理的に完全な体系のみが論理体系であるという見解もある。このため、一部の論理学者は、高階述語論理を厳密に論理体系とみなさない。
非形式論理学 広義では、論理学には形式論理学および非形式論理学の両方が含まれる。非形式論理学は、非形式的な基準を用いて論証の正しさを検討・評価する。非形式論理学は、主に日常対話に注目する。非形式論理学は、形式論理学の知見を自然言語で記述された論証に応用することが困難であることが判明するにつれて、研究が進められた。この点で、非形式論理学は、形式論理学だけでは解決できない問題を研究する分野であるといえる。形式論理学および非形式論理学は、どちらも論証の正しさを評価し、誤謬を判別するための基準を提示する。
非形式論理学の定義としては多くのものが提案されてきたが、非形式論理学の厳密な定義には合意がない。最も字面的な定義では、「形式」および「非形式」という語を、論証を記述する言語を指すものとみなす。この定義では、非形式論理学は、非形式言語あるいは自然言語で記述される論証を研究する分野とされる。形式論理学では、自然言語で記述された論証は、形式言語に翻訳することで間接的にのみ検討できる一方、非形式論理学では、そのような論証を元々の形式で直接検討できる。また、この定義では、論証「鳥は飛ぶ; トゥイーティーは鳥である; したがって、トゥイーティーは飛ぶ」は自然言語で記述されており、非形式論理学で検討される一方、形式言語への翻訳「(1) ; (2) ; (3) 」は形式論理学で検討される。自然言語の表現は曖昧であったり、文脈に依存していたりする場合があり、自然言語で記述される論証の研究には困難が伴う。別の定義では、非形式論理学は、広義で議論の基準や手順の規範的な研究とされる。この定義では、非形式論理学には、議論における理性の役割、批判的思考、議論の心理学に関する問題も含まれる。
また、非形式論理学を非演繹的論証の研究と定義するものもある。この定義は、非形式論理学を演繹的推論を研究する形式論理学と対照する。非演繹的論証は、結論がおそらく真であることを示すが、結論が真であることを保証しない。非演繹的論証には、「私がこれまで見たカラスはすべて黒かった」から「すべてのカラスは黒い」を結論するような、経験的観察に基づく帰納的論証がある。
また、非形式論理学を非形式的誤謬の研究と定義するものもある。非形式的誤謬は、論証の内容やコンテキストに誤りが含まれる正しくない論証である。例えば、誤った二分法は、考慮されうる選択肢を除外することで、内容の誤りを犯す誤謬である。誤謬「あなたは我々の味方であるか、我々の敵である; あなたは我々の味方ではない; したがって、我々の敵である」は、誤った二分法である。一部の論理学者は、形式論理学を論証の大まかな形式のみの研究、非形式論理学を実際の論証の例の研究と定義する。別の定義では、形式論理学は正しい推論における論理定数の役割のみの研究、非形式論理学は具体的な概念の意味の検討も含む研究とされる。
概念 前提・結論・真偽 前提と結論 前提および結論は、推論および論証の基本的な部分であり、論理学において中核をなす。妥当な推論あるいは正しい論証では、前提から結論が導かれる。つまり、前提が結論を支持する。例えば、前提「火星は赤い」および「火星は惑星である」は、結論「火星は赤い惑星である」を支持する。多くの論理体系では、前提および結論がでなければならないとされる。これは、前提および結論が真理値を持たなければならない (真または偽でなければならない) ということを指す。現代哲学では、前提および結論は、命題あるいは文とみなされる。命題は、文の外延であり、一般に抽象的対象とされる。例えば、英語の文「」は、ドイツ語の文「」とは異なるが、どちらも同じ命題を表現する。
前提および結論の命題説は、抽象的対象への依存により批判されてきた。例えば、では、通常、抽象的対象の存在は否定される。また、命題の同一性の基準の定義の困難性を問題とする見解もある。このような異論は、前提および結論を、命題ではなく文 (本のページに印刷された記号のような具体的な言語的対象) と見ることで回避できる。ただ、この場合、文が多くのケースで文脈に依存していて曖昧であり、論証の妥当性がその各部分だけでなく文脈や解釈にも依存するという新たな問題が生じる。また、前提および結論を、思考や判断のような心理的な観点で理解する方法もある。この立場は心理主義と呼ばれる。心理主義は、20世紀初頭には盛んに議論されたが、現在は広く受け入れられていない。
内部構造 前提および結論は内部構造を持つ。命題および文と同様に、前提および結論には単純なものと複合的なものがある。複合命題は、その構成要素として「かつ」や「…であれば…」のような論理結合子で接続された別の命題を持つ。一方、単純命題は命題部を持たない。ただし、単純命題も、や述部などの副命題的部分を持つため、内部構造を持つと見ることができる。例えば、単純命題「火星は赤い」は、述語「赤い」を単称名辞「火星」に適用することで定立される。一方、複合命題「火星は赤い; かつ、金星は白い」は、論理結合子「かつ」で接続された2つの単純命題で定立される。
命題の真偽は、少なくとも部分的にはその構成要素に依存する。真理関数的な命題結合子で定立された複合命題では、命題の真偽はその各部分の真理値のみに依存する。ただし、この関係は、単純命題およびその副命題的部分を検討する場合にはより複雑となる。単純命題の副命題的部分は、対象 (または対象の集合) の指示など、それ自体で意味を持つ。各副命題的部分が構成する単純命題の真偽は、それら各部分の現実との関係 (各部分が指示する対象のありよう) に依存する。この議題は、で研究される。
論理的真理 複合命題には、その各部分の具体的な意味とは無関係に真であるものがある。例えば、古典論理では、複合命題「火星は赤い; または、火星は赤くない」は、単純命題「火星は赤い」などの命題の各部分の真偽によらず真である。この場合、この真理は論理的真理と呼ばれる。命題の真偽がその命題に含まれる論理語彙のみに基づく場合、その命題は論理的に真であるという。これは、その命題が、その論理項以外の部分にいかなる解釈を適用しても真であるということを指す。一部の様相論理体系では、このことを命題があらゆる可能世界で真であるという。一部の論理学者は、論理学を論理的真理の研究と定義する。
真理値表 論理結合子の振る舞いや、複合命題の各部分とその真理値の依存関係を示すのに、真理値表が用いられる。真理値表は、各列に入力変数を持ち、各行にこれらの変数が取りうる真理値の可能な組み合わせを持つ。真理値「真」・「偽」の省略としては、一般に記号「T」・「F」あるいは「1」・「0」が用いられる。最初の列で、入力変数のあらゆる可能な真理値の組み合わせが提示され、残りの列で、入力値に対応する各表現の真理値が提示される。例えば、表現 では、論理結合子 (かつ) が用いられる。この論理結合子は、「昨日は日曜日であった; かつ、昨日は晴天であった」のような文を表現するのに用いることができる。この文は、入力変数 (「昨日は日曜日であった」) および (「昨日は晴天であった」) の両方が真である場合にのみ真であり、それ以外の場合、文全体が偽となる。その他の重要な論理結合子には、 (...でない) 、 (または) 、 (...であれば...) 、 (否定論理積) がある。ある条件命題 からは、その逆 () 、裏 () 、対偶 () の真理値表が得られる。真理値表は、複数の命題結合子を用いた複合表現に対しても定義できる。 +各論理式の真理値表TTTTTTFTFFTFTTFTFTTFTFFFFTTT
論証と推論
論理学は一般に、論証あるいは推論の正しさの研究と定義される。論証は、前提の集合および結論からなる。推論は、前提から結論を導く過程である。ただ、論理学では、「論証」および「推論」を同義とみなす場合もある。論証は、前提が結論を支持するかによって、正しいものと正しくないものに分類される。一方、前提および結論は、それが現実に沿うかによって真偽が決まる。形式論理学では、論証が正しく、かつ、真の前提のみを持つものを健全な論証という。論証は、単純論証および結合論証に分類される場合がある。結合論証は、単純論証を連ねて定立された論証である。つまり、ある論証の結論が、続きの論証の前提となる。結合論証が正しいためには、これらの連なった論証のすべてが正しい必要がある。 alt=論理学で用いられる論証関連の用語の図|サムネイル|論理学で用いられる論証関連の用語 論証および推論には、正しいものと正しくないものがある。論証および推論は、前提が結論を支持する場合に正しい。正しくない場合、この支持が欠けている。結論の支持は、推論の種類によって異なる形態を取る。演繹的推論は、最も強い支持を持つ。ただし、前提に演繹以外の結論の支持があり、演繹に妥当でない論証も正しい論証である場合がある。この場合、帰納的推論または拡充的推論の用語が用いられる。演繹的論証は形式論理学と関連し、拡充的論証は非形式論理学と関連する。
演繹的論証 演繹的に妥当な論証では、前提が結論の真理を保証する。論証「(1) すべてのカエルは両生類である; (2) 両生類の猫は存在しない; (3) したがって、猫であるカエルは存在しない」は、演繹的に妥当な論証の例である。演繹的妥当性の評価では、前提や結論が実際に真であるかは考慮しない。したがって、論証「(1) すべてのカエルは哺乳類である; (2) 哺乳類の猫は存在しない; (3) したがって、猫であるカエルは存在しない」も、前提から結論が必然的に導かれるため、妥当である。
アルフレト・タルスキによると、演繹的論証は次の3つの不可欠な要素を持つ。(1) 形式的である。つまり、前提および結論の形式のみに依存する。(2) アプリオリである。つまり、評価に経験を必要としない。(3) 様相的である。つまり、その他の条件とは無関係に、命題の論理的必然性のみにより成立する。
1つ目の要素 (論証の形式性) により、演繹的推論は、推論規則と同一視される。各推論規則は、前提および結論の形式 (推論が妥当であるための構造) を定義する。どの推論規則にも適合しない論証は、演繹的に妥当でない。モーダスポネンスは、基本的な推論規則であり、「(1) である; (2) であれば、 である; (3) したがって、 である」の形式を取る。例えば、雨が降っていた () 、および、雨が降ると道が濡れる () という知識から、モーダスポネンスを用いて、今道が濡れている () という結論を演繹できる。
3つ目の要素 (論証の様相性) は、演繹的に妥当な推論は真理保存的 () であり、前提が真で結論が偽であることが不可能であると言い換えることができる。この要素により、演繹的推論は、前提に存在しない新しい情報を導くことがないため、情報のない () 推論と形容されることがある。ただし、この見解では、ほとんどの数学も同様に情報がないということになってしまうため、常にこの見解が受け入れられるわけではない。また、との区別を導入する見解もある。文のは、文が明示的に提示する情報である。は、明示的・暗示的にかかわらず、文に含まれる情報全体である。この見解では、演繹的推論はのレベルでは情報のない推論であるが、のレベルでは、暗示的な情報が明らかにされるため、情報的 () であるとされる。情報的な推論には、数学の証明などがある。
拡充的論証 拡充的論証は、前提に含まれない新しい情報が結論する論証である。拡充的論証では、前提が結論をより確からしくする一方、結論の真理は保証されない。つまり、前提がすべて真であっても結論が偽である場合がある。この特徴は、非単調性およびと強く関連する。つまり、新たな推論から得られた情報をもとに、前の結論が棄却される場合がある。拡充的推論は、多くの日常対話および自然科学における論証の中核をなす。拡充的推論は、異なる推論の正しさの基準を持ち、無条件で正しくないものは存在しない。拡充的推論における結論の支持は、通常、段階で得られる。強い拡充的論証では、結論が非常に確からしいということができ、弱い拡充的推論では、この確からしさの度合いが弱まる。したがって、前提による支持が弱いがこれを無視できない場合など、正しい拡充的論証と正しくない拡充的論証の区別は曖昧である場合もある。この特徴は、論証が妥当なものとそうでないものに厳密に区別され、その境界線上にあるものが存在しない演繹的論証とは対照的である。
拡充的論証の分類に用いられる用語には一貫性がない。James Hawthorneら一部の哲学者は、演繹的論証以外のあらゆる論証を「帰納」に分類する。一方、狭義では、帰納的論証は遡及論証とともに、拡充的論証の一種に数えられる。また、Leo Groarkeら一部の哲学者は、拡充的論証の種類として、さらにを挙げる。この狭義の意味では、帰納は主に統計的一般化を伴う論証と定義される。この場合、特定の規則を示す多数の事例の観察を前提とし、この規則が常に成立するという一般法則を結論するものが帰納的推論に分類される。例えば、過去に観察したゾウの色の知識をもとに、「すべてのゾウは灰色である」と結論する推論がこれに当たる。また、一般法則ではなく、「私がまだ見ていないあるゾウも同様に灰色である」のように、さらなる事例についての結論を推論するものも帰納的推論に含まれる。Igor Douvenら一部の哲学者は、帰納的推論を統計的一般化のみに基づく推論と定義する。この定義では、帰納的推論は遡及推論と区別される。
逆行推論には、統計的一般化を伴わないものもある。いずれの場合にも、逆行推論では、前提が真であることを結論がもっともうまく説明できるということを根拠に、前提から結論が支持される。この点で、逆行推論は、最良の説明への推論と形容される。早朝にキッチンにパンくずの乗った皿があるという前提から、その家の住人が夜食をとったが、疲れて食卓を片付けなかったと結論する場合を例とする。この例では、この推論は、結論が現在のキッチンの状態を最もうまく説明できるため、正当化される。逆行推論では、単に結論が前提を説明するというだけでは不十分である。例えば、「空き巣が昨晩家に入り、途中で空腹を感じたため夜食をとった」という結論も現在のキッチンの状態を説明できるが、この結論は最も可能性が高い説明とはいえないため、正当化されない。
誤謬 すべての論証が正しい推論の水準を満たすわけではない。論証が正しい推論の水準に満たない場合、そのような論証は誤謬と呼ばれる。誤謬の重要な側面は、論証の結論が偽であるという点ではなく、結論に至る推論に瑕疵があるという点にある。したがって、論証「今日は晴れている; したがって、クモには足が8本ある」は、結論が真であっても誤謬である。ジョン・スチュアート・ミルら一部の哲学者は、誤謬の要件として、「論証が一見正しいように見えること」を付け加えた。これにより、実際の誤謬を、単なる不注意による推論の誤りと区別できる。 代替文=Poster from 1901|サムネイル|Young America's dilemma: 賢く偉大であるべきか、裕福で強くあるべきか? (1901年のポスター) 。これは、起こりうる事象を除外する選言的前提で、非形式的誤謬の一種である誤った二分法の例である。 誤謬は、形式的誤謬および非形式的誤謬に分類される。形式的誤謬では、論証の形式に問題が存在する。前件否定は、形式的誤謬の一種である。ただし、多くの種類が学術的に議論されているほとんどの誤謬は非形式的誤謬である。非形式的誤謬では、論証の内容あるいはコンテキストに問題が存在する。非形式的誤謬は、さらに曖昧さの誤謬、仮定の誤謬、関連性の誤謬に分類される場合がある。曖昧さの誤謬では、「羽毛は明るい; 明るいものが暗いことはあり得ない; したがって、羽毛が暗くなることはない」のように、自然言語の曖昧さが誤りの原因となる。仮定の誤謬では、間違っているか、正当化されない仮定が含まれる。関連性の誤謬では、前提が結論と無関係であるため、結論が前提により支持されない。
定義的・戦略的規則 論理学では、論証が正しい、あるいは正しくないための条件に注目する。これらの条件に違反する場合、誤謬が存在する。形式論理学では、これらの条件を推論規則と呼ぶ。推論規則は、推論の正しさや許容される推論を決定する定義的規則である。定義的規則は、戦略的規則と対比される。戦略的規則は、ある前提の集合から結論を導くために必要な推論の手順を決定する。この区別は、論理学だけでなく、ゲームにも存在する。例えばチェスでは、定義的規則が、ビショップが斜めにのみ移動できるということを規定する。一方、戦略的規則は、中央を制圧し、キングを守るなど、ゲームに勝つために合法手をどのように用いることができるかを規定する。戦略的規則は、効率的な推論に重要であり、論理学者は戦略的規則により重きを置くべきであると主張される。
形式体系
形式論理体系は、形式言語および公理の集合と、これらの公理から推論を行うためのからなる。論理学では、証明なしに受け入れられる文を公理という。公理は、他の文の正当化に用いられる。一部の論理学者は、形式言語の表現と現実の対象の関係を規定する形式意味論を形式論理体系に含める。19世紀後半より、多くの新たな形式体系が提案されてきた。
形式言語は、アルファベットおよび構文規則からなる。アルファベットは、論理式で用いられる基本的な記号の集合であり、構文規則は、これらの記号を用いてwell-formed formulaを立式する方法を規定する。例えば、命題論理の構文規則は、 がwell-formed formulaであるが、 は、論理積 が両端に項を必要とするためwell-formed formulaではないということを規定する。
証明系は、形式証明を立式するための各規則で、各公理から結論を導く道具である。証明系の規則は、論理式の具体的な内容から独立した、論理式の構文的構造の点で定義される。例えば、古典論理の規則である論理積の導入は、 が 前提 および から帰結するということを規定する。これらの規則は順番に適用でき、前提から結論を得るための数学的手順を提示する。自然演繹やシークエント計算など、証明系にはさまざまな種類がある。
意味論は、形式言語の論理式をその外延に写像するための体系である。多くの論理体系では、外延は真理値である。例えば、命題論理の意味論は、 および が真であるときに、式 に外延「真」を与える。意味論的な観点では、前提が真である場合に常に結論も真であるとき、前提は結論を含意する。
論理体系は、証明系が、前提の集合が結論を意味論的に含意する場合以外に結論を導けない場合に健全であるという。これは、論理体系が意味論の定義に基づく偽の結論を導けないということを指す。また、論理体系は、その証明系が前提が含意するすべての結論を導くことができる場合に完全であるという。これは、論理体系が意味論の定義に基づくあらゆる真の結論を導けるということを指す。健全かつ完全な論理体系では、妥当性および含意の関係が完全に一致する。
論理体系 論理体系は、推論および論証の正しさを評価するための論理的枠組みである。過去2000年以上の間、西洋では、が最も重要な論理体系とみなされてきたが、この分野での近年の発展により、多くの新たな論理体系が考案されてきた。形式論理体系は、古典論理、拡張論理、に分類される。
アリストテレス論理学
古典論理
古典論理は、伝統的論理学やアリストテレス論理学とは区別される。古典論理には、命題論理および一階述語論理が含まれる。古典論理は、多くの論理学者が支持する基本的な論理的直感に基づいているため、「古典」と呼ばれる。古典論理の根拠となる直感には、排中律、二重否定の除去、、が含まれる。古典論理は、当初は数学の論証を評価する目的で考案され、その後、他の分野への応用が進んだ。古典論理は数学に特化しており、哲学的に重要な多くの分野に関連する論理語彙を含まない。例えば、必然性・可能性や、倫理的義務・許可の概念は、古典論理では扱えない。同様に、過去・現在・未来の関係も、古典論理では記述できない。この問題に対して、拡張論理が考案された。拡張論理は、古典論理の基本的な直感を採用し、新たな論理語彙を導入することで、古典論理を拡張する。これにより、数学の範囲を超える倫理学や認識論の分野で、厳密な論理的アプローチが応用できる。
命題論理
命題論理は、要素命題を論理結合子でつないだ式で定立される形式体系である。例えば、命題論理は、2つの要素命題 および の論理積を複合式 と表現する。項および述語が最小の構成要素である述語論理とは異なり、命題論理は、真理値を持つ完全な命題をその最も基本的な構成要素とみなす。したがって、命題論理では、複合命題がより単純な命題から構成される論理的関係は記述できるが、命題の内部構造から得られる推論を記述することはできない。
一階述語論理