順序体

数学における順序体（じゅんじょたい、）とは、全順序をもつ体で、その順序が体の演算と両立するもののことである。

順序体は標数でなければならず、任意の自然数は全て相異なる。従って順序体は無限個の元を含まねばならず、有限体には順序を定義することができない。

順序体の任意の部分体は、元の体の順序に関してそれ自身順序体を成す。任意の順序体は有理数体に同型な部分順序体を含む。任意の順序体は実数体に同型である。順序体において平方元は非負でなければならない。従って複素数体には（虚数単位の平方がだから）順序を定義することはできない。任意の順序体は実体である。

歴史的にはヒルベルト、ヘルダー、ハーンらを含む数学者たちによって徐々に公理化が進められ、1926年に順序体および（形式的）実体に関するによって結実する。

定義順序群の定義の仕方には同値な二種類が存在する。歴史的に最初に考えられたのは、体構造と両立する全順序を与える定義で、これは二項術語としての順序に関する一階の公理化である。アルティンとシュライヤーは1926年に（非負の元全体の成す部分集合としての）正錐を用いた定義を与えた。これは高階の公理化ではあるけれども、正錐を「極大」の前正錐と見る観点からは、体構造と両立する順序を「極値的」な半順序と見る、より広い文脈が生み出される。

体と上の全順序とが両立するとは、この順序が条件ならばかつならばを満たすことである。乗法の記号はこれ以降は省略する。

体の部分集合が上の前正錐 (prepositive cone) あるいは前順序付け (preordering) であるとは、条件ならばならば

を満たすことであるLam (2005) p. 289。前順序付けを持つ体を前順序体 (preordered field) と呼ぶ。の非零元全体の成す集合はの乗法群の部分群を成す。さらに加えて、前順序付けに対して、がおよびの合併となるとき、をの正錐 (positive cone) と言い、の非零元をの正の (positive) 元と呼ぶ。上の任意の前順序付けは、ちょうど上の正錐の適当な族の交わりとして得られる。すなわち、正錐は極大な前順序付けである。前順序体上の扇 (fan) とは、前順序付けであって、がを含む F の指数の部分群で、かつを含まないならばが正錐となる（つまりが加法について閉じている）という性質を満たすものを言うLam (1983) p.39。

与えられた体が、体構造と両立する全順序を備えることと正錐を備えることとは同値であり、体上の両立する全順序と正錐の間の対応は以下のように与えられる。すなわち、両立する全順序が与えられたときなる元全体の成す部分集合はの正錐を成す。逆にの正錐が与えられたとき、付随する全順序をで定義すれば、はの体構造と両立する。

与えられた体が順序体であるとは、それが体構造と両立する全順序、あるいは正錐を備えるときに言う。

順序体の性質を順序体の元とする。推移性：かつならばかつならばかつならばならばまたはの何れか一方のみが成り立つ。ならば、またはの何れか一方のみが成り立つ。「不等式は辺々加えられる」：かつならば単位元は正である。実際、またはの何れか一方のみが正であるが、が正とするとは正となり矛盾である。順序体の標数はである。実際、ゆえ , , … などが成り立つが、標数がとするとはを個加えたものと等しいにもかかわらず正ではない。特に有限体は順序体にならない。平方元は非負、すなわちの各元に対してが成り立つ。特に同じ理由でが成り立つ。順序体の任意の部分体は、もとの体の順序をそこに制限して得られる順序に関してそれ自身が順序体を成す。最小の部分順序体は（任意の標数の体がそうであるように）有理数体に同型であり、この部分体としての有理数体上の順序は有理数体自身の通常の順序に一致する。順序体の元が必ず部分体としての有理数体の二つの元の間にあるならば、そのような順序体はアルキメデス的であると言う。また、そうでない順序体は非アルキメデス順序体と呼ばれ、無限小を含む。例えば、実数体はアルキメデス順序体を成すが、超実数体は任意の標準自然数よりも大きい拡大実数を含むから非アルキメデス順序体になる。

順序体が実数体となるのは、の空でない任意の上に有界な部分集合が内に上限を持つときである。

順序体上のベクトル空間順序体上のベクトル空間（特に数ベクトル空間）はいくつか特別な性質を示し、また例えば向き、凸性あるいは正定値内積などのような特別な構造を考えることができる。一般の順序体上のベクトル空間について考えられるこれらの性質に関して、の場合の議論は実数ベクトル空間の項を参照。

順序体の例順序体の例には以下のようなものがある。有理数体実代数的数体計算可能数体実数体実係数有理函数体：順序は、不定元は任意の定数よりも大きく、またが正元であることを、のそれぞれの最高次係数をとするとき、で定める。これは非アルキメデス順序体である。実係数形式ローラン級数体：不定元を正の無限小とする順序体になる。実閉体準超実数体超実数体超現実数の全体は集合ではなく真の類となることを除けば、順序体の公理を全て満たす。任意の順序体を超現実数体の中へ埋め込むことができる。

どのような体が順序付け可能であるか任意の順序体は形式的に実である。すなわちを非零元の平方和として書くことはできないという性質を持つLam (2005) p. 41Lam (2005) p. 232。逆に、任意の形式的に実な体（実体）は体構造と両立する順序を入れて順序体にすることができる（この順序は必ずしも一意には決まらない）Lam (2005) p. 236。

有限体あるいはより一般に有限な標数を持つ体は順序体にすることはできない。これは、標数に対して、元が平方数の個の和に書けることによる。また複素数体も順序体にならない。これは仮に順序体となるならば、は平方数（もちろん、虚数単位の平方）ゆえ正でなければならないことによる。あるいは p-進数体も順序体にならない。実際、はの平方根を含み、また奇素数に対するはの平方根を含む。

順序の誘導する位相順序体に全順序から誘導されるを入れるならば、公理から二つの演算およびは連続となり、は位相体を成す。

ハリソン位相ハリソン位相 (Harrison topology) は実体に入る順序付け（正錐）全体の成す集合上の位相である。各順序は乗法群から } の上への群準同型と見なすことができる。二元群 } には離散位相を入れ、配置集合には積位相を入れると、上の部分空間の位相が誘導される。ハリソン集合 (Harrison set) } はハリソン位相の準開基を成す。直積位相空間はブール空間（つまりコンパクトハウスドルフかつ完全不連結な位相空間）で、はその閉部分集合、従ってそれ自身ブール空間を成すLam (2005) p. 271Lam (1983) pp.1-2。

超順序体超順序体 (superordered field) は総実代数体であって、その平方和全体の成す集合が扇を成すものを言うLam (1983) p.45。

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