数学におけるヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、）は、ダフィット・ヒルベルトの名に因み、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。
ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間にヒルベルト、シュミット、リースらによって始められた。ヒルベルト空間の概念は、偏微分方程式論、量子力学、フーリエ解析（信号処理や熱伝導などへの応用も含む）、熱力学の研究の数学的基礎を成すエルゴード理論などにおいて欠くべからざる道具になっている。これら種々の応用の多くの根底にある抽象概念を「ヒルベルト空間」と名付けたのは、フォン・ノイマンである。ヒルベルト空間を用いる方法の成功は、関数解析学の実りある時代のさきがけとなった。古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、自乗可積分関数の空間 、自乗総和可能数列の空間 、超関数からなるソボレフ空間 、正則関数の成すハーディ空間 などが挙げられる。
ヒルベルト空間論の多くの場面で、幾何学的直観は重要である。例えば、三平方の定理や中線定理（の厳密な類似対応物）は、ヒルベルト空間においても成り立つ。より深いところでは、部分空間への直交射影（例えば、三角形に対してその「高さを潰す」操作の類似対応物）は、ヒルベルト空間論における最適化問題やその周辺で重要である。ヒルベルト空間の各元は、平面上の点がそのデカルト座標（直交座標）によって特定できるのと同様に、座標軸の集合（正規直交基底）に関する座標によって一意的に特定することができる。このことは、座標軸の集合が可算無限であるときには、ヒルベルト空間を自乗総和可能な無限列の集合と看做すことも有用であることを意味する。ヒルベルト空間上の線型作用素は、ほぼ具体的な対象として扱うことができる。条件がよければ、空間を互いに直交するいくつかの異なる要素に分解してやると、線型作用素はそれぞれの要素の上では単に拡大縮小するだけの変換になる（これはまさに線型作用素のスペクトルを調べるということである）。
定義と導入 動機付けとなる例 最もよく知られたヒルベルト空間の例の一つは、三次元の空間ベクトル全体の成すユークリッド空間 にドット積を考えたものであろう。二つのベクトル のドット積 は実数を与える。 がデカルト座標系であらわされているときには、ドット積は
として定まる。このドット積は、条件 対称性: 第一引数に関する線型性: 正定値性:
を満足する。
このドット積のように、上記三つの性質を満足するベクトルの二項演算を（実）内積と呼び、そのような内積を備えたベクトル空間は（実）内積空間と呼ばれる。任意の有限次元内積空間は、ヒルベルト空間でもある。ユークリッド幾何学に関わるドット積の基本的な特徴というのは、ベクトルの長さ（ノルム） と二つのベクトル の間の角度 の両方が
なる式が成立するという意味でドット積と関連付けられることである。
ユークリッド空間における多変数微分積分学は極限が計算できること、および極限の存在を結論付ける有用な判定法を持つことに支えられている。 のベクトルを項とする級数 は、そのノルムの和（これは実数を項とする通常の級数）が
なる条件を満たすとき、絶対収束するという。スカラー項級数の場合と全く同じく、絶対収束するベクトル項級数は
なる意味で、このユークリッド空間の適当な極限ベクトル に収束する。このような性質（絶対収束級数は通常の意味でも収束する）は、ユークリッド空間の完備性 として表される。
定義 がヒルベルト空間であるとは、 は実または複素内積空間であって、さらに内積によって誘導される距離関数に関して完備距離空間をなすことを言うこの節における数学的な題材は、, , , など、標準的な関数解析学の教科書を見れば載っている。。ここで、 が複素内積空間であるというのは、 は複素線型空間であって、その上に内積、即ち に を対応させる写像であって、条件 は の複素共役である： は第一引数に関して線型である第二引数に関して線型であると約束する場合もある。： <div style="margin: 1ex 2em;"> 内積 は正定値である：
を満たすものが存在することをいう。条件の 1 と 2 を併せると、複素内積は第二引数に関して反線型 となることが従う。即ち、
が成り立つ。実内積空間も同様に定められ（ が実線型空間であることと、内積が実数値であることとが違うだけである）、この場合の内積は双線型（各引数について線型）になる。
内積 によって定義されるノルム は実数値関数であり、このノルムを用いて2点 の間の距離が と定められる。これが距離であるというのは、(1)「 に関して対称」で、(2)「 と 自身との距離は 0 に等しく、かつそれ以外のときは の距離は必ず正」で、(3)「三角不等式
を満たす、即ち三角形 の一辺の長さは他の二辺の長さの和を超えない」という三性質を満たすことを意味する。
三つ目の性質は、突き詰めればより基本的なコーシー・シュヴァルツの不等式
（ただし等号成立は の線型従属性と同値）からの帰結である。
このようにして定義される距離関数に関して、任意の内積空間は距離空間となる。内積空間のことを前ヒルベルト空間 と呼ぶこともある。距離空間として完備であるような任意の前ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間になる。完備性は、 内の列に対するの形で表すことができる。即ち、前ヒルベルト空間 が完備となるのは、任意のコーシー列がノルムに関する意味で 内の元に収束することである。完備性は、次のような条件 ベクトル項級数 がなる意味で絶対収束するならば、もとの級数は（部分和が の元に収束するという意味で） において収束する。 によっても特徴付けることができる。
完備なノルム空間であるという点で、定義によりヒルベルト空間はバナッハ空間でもある。これらは位相線型空間であり、開集合や閉集合といった位相的概念を定めることができる。特に重要になるのが、ヒルベルト空間の閉部分空間の概念である。完備距離空間の閉部分集合は（そこへ距離を制限すれば）それ自身完備距離空間となるから、ヒルベルト空間の閉部分空間は（そこへ内積を制限するとき）それ自身ヒルベルト空間をなす。
もう少し自明でない例 複素数を項とする無限数列 で級数
が収束するようなもの（自乗総和可能な無限複素数列）全体の成す数列空間を で表す。ℓ2 上の内積はエルミート積として
で定義される。この右辺の級数が収束することはコーシー・シュヴァルツの不等式からの帰結である。
空間 の完備性は「 の元からなる級数が（ノルムの意味で）絶対収束するならば必ず、その級数が の何らかの元に収束する」ことを示せば言える。このことの証明は解析学の初歩であり、この空間の元からなる級数は複素数（あるいは有限次元ベクトル空間のベクトル）からなる級数と同程度容易に扱うことができる。
歴史
ヒルベルト空間が開発される以前にも、数学や物理学においてユークリッド空間を一般化する別な概念が知られていた。特に、19世紀の終わりに掛けていくつかの流れの中から抽象線型空間の概念が獲得されるメビウスの後押しを受けたグラスマンの手によるところが大きい 。抽象線型空間の現代的にきちんとした公理的取り扱いは、1888年のペアノが最初である (; )。。これは、その元同士の加法と（実数や複素数のような）スカラーによる乗法とを備えた空間のことを指すのであって、必ずしも物理的な系における運動量や位置といった「幾何学的な」ベクトルをその元が同一視される必要はないという性質のものである。20世紀に入ると、数学者たちは新たな対象を扱うようになり、特に数列の空間（級数論も含む）や関数の空間ヒルベルト空間の詳しい歴史は に扱われている。 は自然に線型空間と看做すことができる。実際に、関数の場合なら、関数同士の和や定数をスカラーとする乗法が定義できて、それらの演算は空間ベクトルの加法とスカラー倍が従うのと同じ代数法則に従う。
20世紀の最初の10年間で、ヒルベルト空間の導入に繋がる展開が同時並行的に現れた。その一つは、ヒルベルトとシュミットの積分方程式論の研究過程で見出された。区間 上の2つの自乗可積分な実数値関数 は「内積」
を持ち、これがよく知られたユークリッド空間のドット積の性質の多くを有していた。これにより特に、関数からなる正規直交系の概念が意味を持つようになる。シュミットは、この内積と通常のドット積との類似性として、
（ただし、 は に関して対称）なる形の作用素に対してスペクトル分解の類似物を示した。得られる固有関数展開は関数 を
なる形の級数として表す。ただし、関数系 は、 なるとき常に を満たすという意味で、直交系を成す。この級数の個々の項は、基本積解 と呼ばれることもある。しかし、この固有関数展開には、適当な意味で自乗可積分関数に収束するものとそうでないものがある。収束を保証するには完備性（系の完全性）が不可欠なのである。
いま一つは、ルベーグがリーマン積分に替わるものとして1904年に導入したルベーグ積分である。積分論の歴史の詳細は と にある。。ルベーグ積分は、より広範なクラスの関数で積分を定義することを可能にした。1907年に、リースとはそれぞれ独立にルベーグ自乗可積分関数全体の成す空間 が完備距離空間であることを示した.。このような幾何学的議論と系の完全性の議論が合わさった帰結として、19世紀に得られたフーリエ、ベッセル、パーシヴァルらの三角級数についての成果を、これらのより一般の空間へ容易に持ち込むことができた。そうして得られた幾何学的かつ解析学的な仕組みは今日ではふつうリース・フィッシャーの定理として知られる。
更なる基本的結果が20世紀の初め頃に証明されていく。例えば、リースの表現定理は1907年にフレシェとリースがそれぞれ独立に示した と の結果を併せて は「L2[0,1] 上の任意の線型汎関数は積分で表される」と書いている。「ヒルベルト空間の双対がもとの空間と同一視される」という一般な形の主張は で述べられている。。フォン・ノイマンは自身の非有界エルミート作用素の研究において「抽象ヒルベルト空間」という用語を創出した.。他のワイルやウィーナーのような数学者は（しばしば物理学的な興味を動機として）既に特定のヒルベルト空間については極めて詳細な研究を行っていたのだけれども、一般のヒルベルト空間をきちんと、しかも公理的に取り扱ったのはフォン・ノイマンが最初である。後にフォン・ノイマンは、量子力学の基礎付けに関する金字塔的研究.においてこのヒルベルト空間の概念を用いており、ウィグナーへと続いていく。「ヒルベルト空間」という呼称は瞬く間に他へ広まり、例えばワイルは自身の量子力学と群論の教科書.で用いている。
ヒルベルト空間の概念の重要性は、それが最も適切な量子力学の数学的基礎の提供を実現したことで強く認識されるようになった.。簡単に言えば、量子力学系の状態はある種のヒルベルト空間におけるベクトルであり、可観測量はその空間上のエルミート作用素であり、系の対称性はユニタリ作用素であり、観測は直交射影である。量子力学的対称性とユニタリ作用素との間の関係は、1928年のワイルに始まる群のユニタリ表現論の発展の原動力となった。他方、1930年代の初め頃には、古典的な力学系のある種の性質が、エルゴード理論の枠組みのもとでヒルベルト空間を用いた方法で調べられるようになり、明らかにされた。
量子力学における可観測量の代数は、ハイゼンベルクの行列力学による量子論の定式化に従って、自然に或るヒルベルト空間上で定義される作用素環となる。1930年代のうちにフォン・ノイマンがヒルベルト空間上の作用素の成す環としての作用素環を調べ始め、フォン・ノイマンやその時代の人々が研究した種類の作用素環は、今日ではフォン・ノイマン環と呼ばれている。1940年代には、ゲルファント、、らが -環と呼ばれる種類の作用素環の定義を与えた。これはヒルベルト空間の基盤となることはない一方で、それまで知られていた作用素環のもつ有用な特徴が当てはまる。特に、存在する殆どのヒルベルト空間論の根底にある、自己随伴作用素のスペクトル定理が -環に対して一般化された。これらの手法は今や抽象調和解析や表現論において基本となっている。
例 ルベーグ空間
ルベーグ空間は測度空間 （ は集合で、 は の部分集合からなる完全加法族、 は 上の完全加法的測度）に付随する関数空間である。 を、 上の複素数値可測関数で、その絶対値の平方のルベーグ積分が有限となるようなもの全体の成す空間とする。即ち、 に属する関数 は必ず
を満たす。ただし、測度零の集合の上でだけ異なる（殆ど至る所一致する）ような関数は全て同一視するものとする。
に属する関数 の内積は
で与えられる。 の元 に対して、右辺の積分が存在することはコーシー・シュヴァルツの不等式から示されるから、これは確かに内積を定義している。このように定義された内積に関して は実は完備になる.。積分がルベーグ積分であることは完備性を保証するために本質的である。例えば、実数からなる領域上でリーマン可積分関数を考えるのでは十分でない.。
多くの自然な設定の下でルベーグ空間を考えることができる。 および をそれぞれ実数直線および単位閉区間上で定義される（ルベーグ測度に関する）自乗可積分関数全体の成す空間とすると、それぞれの自然な定義域上でフーリエ変換とフーリエ級数が定義できる。別な状況では、実数直線上の通常のルベーグ測度ではない何か別の測度を用いることもある。例えば、任意の正値可測関数 をとり、区間 上の可測関数 で
を満たすもの全体の成す空間は重み付き -空間と呼ばれ、 を重み関数と呼ぶ。内積は
で与えられる。重み付き空間 はヒルベルト空間 に等しい。ただし測度 は可測集合 に対して
を満たすものと定める。このような重み付き 空間は直交多項式を調べるのによく用いられる（これは種々の直交多項式系は、それぞれ別な重み関数に関する意味で直交することによる）。
ソボレフ空間 ソボレフ空間 あるいは はヒルベルト空間になる。これらの空間は微分が行えるような関数空間の一種で、（ヘルダー空間のようなほかのバナッハ空間とは異なり）内積の構造も持つ特別な場合になっている。微分が使えることで、ソボレフ空間は偏微分方程式論に対して都合がよい。また変分法における直接法の基礎も与えている。.
非負整数 と領域 に対し、ソボレフ空間 は 階までの弱微分が全て に属するような -関数を全て含む。 における内積は
で与えられる。ただし、右辺のドット積は各階の偏導関数全体の成すユークリッド空間におけるドット積である。 が整数でない場合にもソボレフ空間は定義できる。
ソボレフ空間は、（ヒルベルト空間のより具体的な構造に依拠する）スペクトル論の観点からも研究される。適当な領域 に対してソボレフ空間 を全体の成す空間として定義することができる。これはだいたい
のようなものである。ここで はラプラス作用素、 はによって捉えることができる。非負整数 に対するソボレフ空間の意味のある定義を与える必要があることをひとまず置いておけば、ソボレフ空間の定義はフーリエ変換のもとで特に望ましい性質を持ち、擬微分作用素の研究に対して理想的である。これらの方法をコンパクトリーマン多様体上で用いれば、例えばホッジ理論の基礎を成すホッジ分解が得られる詳細は に見つかる。。
正則関数の空間 ハーディ空間 複素解析や調和解析で用いられるハーディ空間は、その元が複素領域上の正則関数となっているような関数空間の一種であるハーディ空間の一般論は を見よ。。 をガウス平面上の単位円板とすると、ハーディ空間 は 上の正則関数 で、その平均がまた で抑えられるようなもの全体の成す空間として定義される。このハーディ空間上のノルムはで与えられる。この円板上のハーディ空間はフーリエ級数と関係があり、正則関数 が に属するための必要十分条件は、なる形に書けることである。従って、空間 は、単位円板上の -関数で、負の周波数に対するフーリエ係数が消えているようなもの全体からなる。
ベルグマン空間 正則関数の成すヒルベルト空間の別なクラスにベルグマン空間がある。 をガウス平面（または高次元の複素空間）の有界開集合とし、 を 上の正則関数 でなる意味で にも属するようなもの全体の成す集合とする。ただし積分は におけるルベーグ測度に関してとる。明らかに は の部分空間であり、実は閉部分空間になっているので、それ自身ヒルベルト空間を成す。このことは、 のコンパクト部分集合 の上で有効な評価からの帰結である。この評価自体はコーシーの積分公式から出る。従って、 に属する正則関数列の収束はコンパクト収束でもあるから、極限関数もまた正則になる。先の評価不等式の別な帰結として、 の一点において関数 を評価する線型汎関数は、実際には 上で連続であることがわかる。リースの表現定理によれば、この評価関数を表現する L2,h(D) の元が存在するから、各 に対して関数 でをすべての に対して満たすようなものが取れる。被積分関数の因子は のベルグマン核と呼ばれる積分核で、再生性を満足する。
ベルグマン空間は再生核ヒルベルト空間（関数からなるヒルベルト空間で、先と同様の再生性を持つ積分核 を備えたもの）の例になっている。ハーディ空間 にもと呼ばれる再生核を持つ。再生核は数学のほかの分野でもよく用いられる。たとえば、調和解析におけるポアソン核は単位球体上の自乗可積分調和関数全体の成すヒルベルト空間（これがヒルベルト空間を成すことは調和関数に対する中間値の定理からわかる）に対する再生核である。
応用 ヒルベルト空間の応用の多くは、ヒルベルト空間において射影や基底変換といったような単純な幾何学的概念が、ふつうの有限次元の場合に考えられるそれらの自然な一般化になっているという事実に依拠して行われている。特に、ヒルベルト空間上の連続自己随伴線型作用素のスペクトル論は、行列のふつうのスペクトル分解の一般化であり、これはヒルベルト空間論を他の数学や物理学の分野に応用する際にしばしば大きな役割を果たす。
スツルム・リウヴィル理論
常微分方程式論において、微分方程式の固有関数および固有値の振る舞いを調べるのに適当なヒルベルト空間上のスペクトル法が利用できる。例えば、ヴァイオリンの弦やドラムの調波の研究から生じたスツルム・リウヴィル問題は、常微分方程式論の中心的な問題である.。スツルム・リウヴィル問題は区間 上の未知関数 に対する常微分方程式
で、一般斉次ロビン境界条件
を満足するものである。関数 p, q, および w は所与で、方程式の解となる関数 y および定数 λ を求める。同問題は、この系の固有値と呼ばれる特定の値の λ に対してだけ解を持つのだが、それのことはこの系に対するグリーン関数によって定まる積分作用素にコンパクト作用素のスペクトル論を適用した結果として得られる。さらにはこの一般論からの別な帰結として、固有値 λ を無限大に発散する単調増大列に並べることができるフレドホルム核の固有値は 1/λ でこれは 0 に近づく。。
偏微分方程式論 ヒルベルト空間は偏微分方程式を調べる基本的な道具である.。即ち、楕円型線型方程式のような偏微分方程式の多くのクラスでは、考える関数のクラスを拡張して弱解と呼ばれる超関数解を考えることができるが、弱解の定式化（弱定式化）の多くはヒルベルト空間を成すソボレフ関数のクラスを含むものになっているのである。解を求めたり、あるいはしばしばより重要な、与えられた境界条件に対する解の存在および一意性を示したりする解析学的な問題が、適当な弱定式化によって幾何学的問題に還元される。楕円型線型方程式に対して、かなりのクラスの問題が一意的に解けることを保証する幾何学的結果の一つがラックス・ミルグラムの定理である。この方法論は、偏微分方程式の数値解法に対する（有限要素法の一つ）の基盤をなしているこの観点からの有限要素法の詳細が にある。。
典型的な例が、R2 の有界領域 Ω におけるポアソン方程式 −Δu = g のディリクレ境界問題である。弱定式化は、境界上で消えている Ω 上連続的微分可能な任意の関数 v に対して
を満たすような関数 u を求めることからなる。これは、u およびその弱偏導関数がともに境界上で消えている Ω 上の自乗可積分関数となるような関数 u からなるヒルベルト空間 H(Ω) の言葉で書き直すことができて、問題はこの空間 H(Ω) の任意の元 v に対して
を満たすような u を空間 H(Ω) の中で求めることに帰着される。ただし、a および b はそれぞれ
で与えられる連続な双線型形式および連続な線型汎関数である。ポアソン方程式は楕円型だから、ポアンカレの不等式から双線型形式 a が強圧的であることが従う。故に、ラックス・ミルグラムの定理は、この方程式の解の存在と一意性を保証する。
多くの楕円型偏微分方程式に対して同様のやり方でヒルベルト空間による定式化ができるので、それ故にラックス・ミルグラムの定理はそれらの解析における基本的な道具となる。同様の方法は抛物型偏微分方程式やある種の双曲型偏微分方程式に対しても、適当な修正を施せば通用する。
エルゴード理論
エルゴード理論の分野では、カオス力学系の長期的振る舞いを研究する。エルゴード理論が有効な原型的な場合というのは、熱力学における系である。この系の微視的な状態は（微粒子の間の個々の衝突の集まりとしては理解できないという意味で）極めて複雑であるにも拘らず、十分長期間にわたるその平均的振る舞いは素直であり、熱力学の法則が主張するのはこのような平均的挙動である。特に、熱力学の第0法則は「十分長い時間スケールを経れば平衡状態にある熱力学系の、その機能的に独立な測度は、温度の形でのその全エネルギーのみである」などと定式化できる。
エルゴート力学系は、（ハミルトニアンで測られる）エネルギーを除けば、相空間上の機能的に独立な保存量を持たないような系である。詳しく述べれば、エネルギー E を固定して、ΩE をエネルギーが E となる状態すべてからなる相空間の部分集合（エネルギー面）とし、Tt で相空間上の発展演算子を表せば、力学系がエルゴードとなるのは、ΩE 上の定数でない連続関数で、ΩE の任意の w と任意の時間 t において
を満たすものがない場合に限る。リウヴィルの定理によれば、エネルギー面上の測度 μ で時間並進不変なものが存在する。結果として時間並進は、エネルギー面 ΩE 上の自乗可積分関数に内積を
で入れたヒルベルト空間 L2(ΩE,μ) のユニタリ変換になる。
フォンノイマンの平均エルゴード定理の主張は次のようなものである。 Ut がヒルベルト空間 上のユニタリ作用素からなる（強連続）一径数半群で、P を Ut の同時不動点全体の成す集合{x∈H | Utx = x for all t > 0} の上への直交射影とするとが成り立つ。
エルゴード系では、時間発展の固定集合は定数関数のみから成るので、先のエルゴード定理から任意の f ∈ L2(ΩE,μ) に対し
となることが従う。つまり、観測可能な f の長期平均は、そのエネルギー面に亘ってとった期待値に等しい。
フーリエ解析
フーリエ解析の基本目的の一つは、関数を付随するフーリエ級数、即ち与えられた基底関数族の（必ずしも有限とは限らない）線型結合に分解することである。区間 上の関数 に付随する古典フーリエ級数とは
なる形の級数である。
鋸歯状波関数に対するフーリエ級数の最初の数項を足し上げた例を図に示す。鋸歯状波関数の波長を λ とすると、（基本波、つまり n = 1 を除いて）それよりも短い波長 λ/n（n は整数）をもつ正弦波が基底関数である。全ての基底関数が鋸歯状波の折れるところで交わり（結点）を持つが、基本波を除く全ての基底関数はそれ以外にも結点を持つ。鋸歯の周りでの基底関数の部分和の振動はギブズ現象と呼ばれるものである。
古典フーリエ級数論の特徴的な問題の一つに「関数 f のフーリエ級数がもとの関数に収束する（ことが仮にあったとする）ならば、それはどのような意味においての収束であるか」を問う問題がある。これに対して、ヒルベルト空間を用いた方法で答えを与えることができるこの観点からのフーリエ級数の扱いは、例えば や を参照。。関数族 en(θ) := e2πinθ はヒルベルト空間 の正規直交基底を成すから、それ故に任意の自乗可積分関数 f が
なる級数の形で表せて、さらにこの級数は の元として収束する（即ち、-収束、自乗平均収束）。
この問題を抽象的な観点からも見ることができる。任意のヒルベルト空間は正規直交基底を持ち、ヒルベルト空間の各元はそれら基底に属する元の定数倍の和として一意的に表すことができるが、この展開に現れる各基底元の係数のことをその元の抽象フーリエ係数と呼ぶことがある。このような抽象化は、L2([0,1]) などの空間で別の基底関数系を用いることがより自然であるようなときに、特に有用である。関数を三角関数系に分解することは不適当だが、例えば直交多項式系やウェーブレットおよび高次元において球面調和関数.へ展開することが適当であるような状況はたくさんある。
例えば、en を L2[0,1] の任意の正規直交基底関数系とすると、与えられた L2[0,1] の関数は有限線型結合
で近似することができる。右辺の係数 {aj} は、差の大きさ ‖ƒ − ƒn‖2 をできるだけ小さくするように定める。幾何学的には、最適近似は {ej} の線型結合全体の成す部分空間の上への ƒ の直交射影であり、
によって計算することができる。これが ‖ƒ − ƒn‖2 を最小化することはベッセルの不等式とパーセヴァルの公式からの帰結である。
種々の物理学的問題においては、関数を物理的に意味を持つ微分作用素（典型的なものはラプラス作用素）の固有関数系に分解することができ、微分作用素のスペクトルに関連して、関数のスペクトル研究の基礎を成しているスペクトル法の古典的文献は 。より今日的な取り扱いは を参照。。物理学への具体的な応用として問題が挙げられる。これは「太鼓の皮が引き起こす基本振動モードを与えたとき、太鼓自身の形が推定できるか」というものである。この問題の数学的定式化は、平面上のラプラス作用素のディリクレ固有値に関わるものになる（これはヴァイオリンの弦の基本振動モードを表す整数の直接の対応物である）。
スペクトル論も関数のフーリエ変換のある種の側面を下支えしている。フーリエ解析ではコンパクト集合上定義された関数を（ヴァイオリンの弦や太鼓の皮の振動に対応する）ラプラス変換の離散スペクトルに分解するのに対して、関数のフーリエ変換はユークリド空間の全域で定義された関数をラプラス作用素のに関する成分に分解する。フーリエ変換があるヒルベルト空間（「時間領域」）から別なヒルベルト空間（「周波数領域」）への等距変換であることを主張するプランシュレルの定理として、フーリエ変換は幾何学的な意味を持つ。このフーリエ変換の等距性は、例えば非可換調和解析に現れる球関数に対するプランシュレルの定理などが示すとおり、抽象的な調和解析では繰り返し登場する主題である。
量子力学