基数関数

数学において、基数関数(cardinal function) (または基数不変量(cardinal invariant))は基数を返す関数のことである。

集合論における基数関数

最もよく使われる基数関数は単に、集合 "A" に対してその濃度| A |を返す関数である。

アレフ数やベート数はどちらも、順序数を基数に対応させる関数と見なすことが出来る。

単純な基数の演算も基数関数といえる。

集合 X の部分集合によるイデアル I に対して次のような基数関数が定義される。:

. I の "additivity" とは、合併演算がI の下で閉じなくなるような最小の濃度。いかなるイデアルも有限和について閉じているので、この値は少なくとも以上である。; I が σ-イデアルであるとは add(I)≥ であることを言う。 . I の "covering number" とは合併演算で X が被覆できる最小の濃度。X は I の元ではないので、add(I) ≤ cov(I) であることが分かる。 , I の "uniformity number" とは I の元にならない集合の最小の濃度。I がシングルトンを全て要素に持つと考えるときは、add(I) ≤ non(I) であることが分かる。

I の "共終数(cofinality)" とは広義半順序集合 (I, ⊆) の共終数である。non(I) ≤ cof(I) かつ cov(I) ≤ cof(I) であることは容易に示される。

零集合によるイデアルや第一類集合によるイデアル等の実数集合の構造に密接に関わるイデアルで考える研究も行われている。cardinal characteristics of the continuumを参照しろ。

前順序(広義半順序)集合に対して bounding number と dominating number は次のように定義される。 ,

PCF理論において、という基数関数が使われている。

位相空間論における基数関数

基数関数は位相空間論においても位相的性質を記述するための道具として広く用いられている。Juhász, István: Cardinal functions in topology. "Mathematical Centre Tracts", nr 34. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1971.Juhász, István: Cardinal functions in topology - ten years later. "Mathematical Centre Tracts", 123. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980. ISBN 90-6196-196-3 以下に挙げるのはその例である。(注意:一般位相において有限基数は考慮しないとする人もいる。必要に応じて基数関数が返す値は可算濃度以上である制限をつけてもよい。)

やはり、位相空間 X についての最も単純な基数不変量はその空間の濃度 |X | やその位相の濃度 o(X) であろう。位相空間 X の weight w(X ) とは X の基底の最小の濃度。w(X ) = である空間 X は第二可算空間と呼ばれる。位相空間 X の -weight は基の最小の濃度である。位相空間 X の点 x における character とは x の近傍基の最小の濃度。X の character とはのこと。となる X は第一可算空間と呼ばれる。位相空間 X の density d(X ) とは、X の稠密部分集合の最小濃度。である X は可分空間と呼ばれる。位相空間 X の cellularity とははの空でなく互いに交わりのない部分集合による族 } Hereditary cellularity (または spread) とは部分集合の cellularity の最小上界。すなわち、: またはの相対位相が離散位相である位相空間 X の点 x における tightness t(x, X) とは次のものである。位相空間 X の tightness とはのこと。t(X) = となる X は :en:countably generated や countably tight であると呼ばれる。位相空間 X の augumented tightness とは次のことを満たす最小の正則基数のこと : 任意のとに対して Y の部分集合 Z で濃度未満のものがあってを満たす。

基本的な不等式

c(X) ≤ d(X) ≤ w(X) ≤ o(X) ≤ 2|X| (X) ≤ w(X)

ブール代数における基数関数

ブール代数の研究にも基数関数は使用される。Monk, J. Donald: Cardinal functions on Boolean algebras. "Lectures in Mathematics ETH Zürich". Birkhäuser Verlag, Basel, 1990.

ISBN 3-7643-2495-3.Monk, J. Donald: Cardinal invariants on Boolean algebras. "Progress in

Mathematics", 142. Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-5402-X. 以下にその例を挙げる。

ブール代数の Cellularity とはの反鎖の濃度の上限である。ブール代数の Length とはは鎖ブール代数の Depth とはは整列集合ブール代数の Incomparability とはただしブール代数の Pseudo-weight とはただし

代数における基数関数

代数学における基数関数の例を挙げる: G の部分群 H の指数は剰余類の数である。体 K 上のベクトル空間 V の次元は V のハメル基底の濃度である。 W ベクトル空間 V の線型部分空間に対して、余次元を定義することが出来る。

外部リンク A Glossary of Definitions from General Topology

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