メリン変換

数学におけるメリン変換（メリンへんかん、）とは、両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換である。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論や漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数や特殊関数の理論と関係している。

この変換の名はフィンランドの数学者の名にちなむ。

定義局所可積分な関数 f のメリン変換は

により定義される。任意の小さな正の数に対して、のとき、のときと評価できるならば、上の積分は絶対収束する。さらに、はで解析的な関数となる。

また、メリン逆変換は

により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。ここで、 c はを満たす任意の実数である。このような逆が存在するための条件は、で与えられている。

他の変換との関係両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて

と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により

と表される。

メリン変換は、積分核 xs を用いた、乗法的ハール測度についての積分と考えることが出来る。ここでは拡張について不変であり、したがってが成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度についての積分と考えられる。ここでは移動不変であり、したがってが成り立つ。

同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、

が成立する。反対に

も成立する。メリン変換はまた、やを、の意味におけるポアソン母関数と結び付ける。

例カヘン-メリン積分、および上のに対して、

が成立する。ここではガンマ関数である。この積分はカヘン-メリン積分として知られている (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)。

数論数論における重要な応用例として、単関数に対し

が成立する、ということが挙げられる。

ゼータ関数メリン変換を用いることで、リーマンゼータ関数についての公式を得ることができる。としたときよって

L2 上のユニタリ作用素としてヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。（Lp空間を参照されたい）の関数に対して、基本帯（fundamental strip）は常にを含む。そのため、線形作用素を

によって定義することが出来る。言い換えると、集合

を定義することが出来る。この作用素は通常とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するためにを記号として用いる。このときにより、は可逆であって、その逆は

と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわちがすべてのに対して成立することが分かる（この性質のために係数が用いられている）。したがって、はユニタリ作用素である。

確率論において確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる。X を確率変数とし、} をその正の部分、} をその負の部分としたとき、X のメリン変換は

として定義される。ここで γ は、を満たすもの（formal indeterminate）である。この変換は、複素帯領域 }（ただし）内のすべての s に対して存在する。

確率変数 X のメリン変換は、その分布関数 FX を一意に定める。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: X および Y を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい。すなわち、

が成立する。

応用メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。

この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。

その他の例ディリクレ級数へのメリン逆変換の応用について述べたものに、ペロンの公式がある。メリン変換は素数計数関数の解析に用いられる。またリーマンゼータ関数の議論にも現れる。メリン逆変換は主にリース平均に現れる。メリン変換はオーディオ・タイムスケール-ピッチ調整に使うことが出来る。

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