確率要素

は確率変数を一般化した、確率空間上の可測関数である。

数学、特に確率論でよく用いられる。この概念は、「確率論の発展とその応用分野の拡張は、試行の（ランダムな）結果が数や数の有限集合によって表現される体系から、試行の結果が例えばベクトル、関数、過程、体、級数、変換や集合あるいは集合族によって表現される体系へ移行する必要性につながる」という意見を残したモーリス・ルネ・フレシェによって導入された。

昨今の慣例では〈確率要素〉を扱う際の終域は位相線型空間であることが多いが、しばしば部分集合の特別な σ-代数を備えるバナッハ空間やヒルベルト空間であることもある。

定義を確率空間、を可測空間とする。関数が次の条件、

は -可測である

を満たすとき、は「に値を取る確率要素」である。「-値確率変数」とも。

関連する定義バナッハ空間に値を取る確率要素の定義は、一般的に、すべての有界線形汎関数が可測であるような B 上の最小の σ-代数を役立てるものと理解される。この場合の同値な定義として、すべての有界線形汎関数に対してが確率変数であるならば、確率空間上の写像は確率要素である、というものがある。それはまた、が弱可測関数であることとも同値である。

性質

逆像が可測集合定義より、確率要素は確率空間上の可測関数である。よって任意のに対しての逆像がに含まれる、つまり、

が成り立つ。

様々な場面における確率要素確率変数離散確率分布複素確率変数単純確率変数

ランダム行列確率分布確率質量関数確率密度関数確率過程

確率測度確率集合確率閉集合確率コンパクト集合

確率変数

を実数空間、を上のボレルσ-代数とする、つまり、可測空間をとする場合、に値を取る確率要素は確率変数そのものである。

脚注

注釈

出典

参考文献

Hoffman-Jorgensen J., Pisier G. (1976) "Ann.Probab.", v.4, 587-589.

Mourier E. (1955) Elements aleatoires dans un espace de Banach (These). Paris. Prokhorov Yu.V. (1999) Random element. Probability and Mathematical statistics. Encyclopedia. Moscow: "Great Russian Encyclopedia", P.623.

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