数学の微分積分学において一般化されたライプニッツの法則 (generalized Leibniz rule), 一般のライプニッツの法則（いっぱんのライプニッツのほうそく、Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318；一般ライプニッツ則）あるいは単にライプニッツの法則は、積の法則（これもまたライプニッツの法則と呼ばれる）の一般化であり、 を 回微分可能な関数とするとき、それらの積 の 階微分が
で与えられることを述べるものである。ここで は二項係数である。ドイツの哲学者・数学者のゴットフリート・ライプニッツの名に因む。
この法則は、積の法則と数学的帰納法を用いることで証明できる。
例 のとき (積の微分法則) のとき のとき 各項の係数は二項定理と同様に二項係数となり、パスカルの三角形から求めることができる。
多因子版 が 個の 階微分可能函数のとき、
と書ける。
ここで、 は多項係数である。
多変数版 多重指数記法を使い、より一般に
の形に規則を述べることもできる。この式は、微分作用素の合成の表象を計算する公式の導出に用いられる。実は、 を（係数が十分多くの回数微分可能であるような）微分作用素とし、 とするとき、 もまた微分作用素であり、 の表象が で与えられるから、ここに直接計算によって
を得る。この公式はふつう、ライプニッツの公式 (Leibniz fomula) と呼ばれる。これを用いて表象の合成が定義できて、表象全体の成す空間には環の構造が入る。
関連項目
微分環 積の微分法則 微分
注釈
外部リンク
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