数学において、2つのモジュラー形式のRankin–Cohen ブラケット (Rankin–Cohen bracket) は、別のモジュラー形式であり、2つのモジュラー形式の積を一般化する。

概要 は、モジュラー形式の微分の多項式が再びモジュラー形式となるための一般条件を示した。

その後、 がRankin–Cohenブラケットを与えるような多項式の具体的な例を提示した。

その後、 がこれらを「Rankin–Cohenブラケット」と命名した。さらにZagierは、このブラケットを代数的に抽象化した構造として Rankin–Cohen代数 を導入した。

定義

f と g がそれぞれウェイト k と h のモジュラー形式であれば、それらの n 次 Rankin–Cohen ブラケット [f,g]n は次で与えられる。

これはウェイト k + h + 2n のモジュラー形式である。

表現論

Rankin–Cohen ブラケットの数式は表現論の言葉で説明することができる。モジュラー形式は SL2(R)/SL2(Z) 上の関数の空間における SL2(R) のに対する最小のウェイトベクトルと見なすことができる。

モジュラー形式 f および g に対応する2つの最低ウェイト表現のテンソル積は、非負整数 n でパラメタライズされた最低ウェイト表現の直和へと分解される。

簡単な計算により、各成分に対応する最低ウェイトベクトルが Rankin–Cohen ブラケット [f,g]n に一致することが示される。

参考文献