可換環論において可換ネーター局所環 A 上有限生成な 0 でない加群 M と A の準素イデアル I のヒルベルト・サミュエル関数 (Hilbert–Samuel function) は、David Hilbert と にちなんで名づけられているがH. Hironaka, Resolution of Singularities of an Algebraic Variety Over a Field of Characteristic Zero: I. Ann. of Math. 2nd Ser., Vol. 79, No. 1. (Jan., 1964), pp. 109-203.、写像 であってすべての に対して
であるようなものである、ただし は A 上の長さを表す。それは のと恒等式
によって関連付けられる。十分大きい に対して、それは次数が に等しい多項式関数と一致するAtiyah, M. F. and MacDonald, I. G. Introduction to Commutative Algebra. Reading, MA: Addison–Wesley, 1969.。
例
二変数の形式的冪級数の環 を自身の上の加群と考え順序によって次数付け、イデアルを単項式 x2 と y3 によって生成されたものとすると、
次数の制限 ヒルベルト関数とは違って、ヒルベルト・サミュエル関数は完全列に対して加法的でない。しかしながら、アルティン・リースの補題の結果として、それはなお加法的であることにある程度近い。 でヒルベルト・サミュエル多項式を表記する。すなわち、それは十分大きい整数に対してヒルベルト・サミュエル関数と一致する。
をネーター局所環とし、I を m-準素イデアルとする。
が有限生成 R-加群の完全列で、 の長さが有限であればこれは と もまた有限の長さをもつことを意味する。Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8. Lemma 12.3.、
ただし F は次数が の次数よりも真に小さい多項式で、正の leading coefficient をもつ。とくに、 であれば、 の次数は の次数よりも真に小さい。
証明： 与えられた完全列を でテンソルして核を計算すると、完全列
を得、これから . 右辺第三項はアルティン・リースによって評価できる。実際、補題によって、大きい n とある k に対して、
したがって、 . これは望んだ次数の制限を与える。
関連項目 :en:j-multiplicity
参考文献