連分数

連分数（れんぶんすう、）とは、分母に更に分数を含む分数である。分子が全て 1 であるものは特に単純連分数または正則連分数（）ともいう。単に連分数といえば、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形をとる。

ここで a は整数、それ以外の a は正の整数である。正則連分数は、最大公約数を求めるユークリッドの互除法から自然に生ずるものであり、古くからペル方程式の解法にも利用された。

下記のような記法もある。

また、極限の概念により、分数を無限に連ねたものも考えられる。

二次無理数（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。

計算方法 求めたい数を ω とおく。

ω が整数でなければ、ω を超えない最大の整数を a とし、次のように ω を定める。

ω が整数でなければ、ω を超えない最大の整数を a とし、 次のように ω を定める。

以降も同様。

この操作を繰り返し、n 段までの連分数を求める。ω が有理数であれば、n は有限である。 ω が無理数であれば、無限の連分数となる。

ただし上述のように、ω が二次無理数であり、かつその場合に限り、循環する連分数になる。

は ω に収束する。すなわち上記の作業を繰り返すことによりいくらでも実数 ω に近い有理数を求めることができる。また、ω と連分数の差は

となると知られており、連分数はディオファントス近似の解を求める手段として有効である。

性質 いま、a は整数、それ以外の a は正の整数であるような数列

があるとき、数列 p, q を以下のように定める。

このとき、連分数は

となる。

p とq にユークリッドの互除法を適用すると、割り算の商として数列 a, a, ... , a のn 個の整数が順番に現れる。上記の数列 p, q の定義は互除法の操作を逆にたどったものともいえる。

また、p, q は整数であるから、ユークリッドの互除法の帰結より、p と q は互いに素である。つまり連分数 は既約分数である。

さらに |pqn − pq| = 1 である。また、p と p および、q と q も互いに素である。

なお数列a が全て 1 の場合、数列p, q はともにフィボナッチ数列 (F = 0, F = 1) である。すなわち

である。そして、上で記したようにこの連分数は黄金比に収束する。ゆえに隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比に収束することが分かる。

また、アレクサンドル・ヒンチンによると、ほとんど全ての実数について、正則連分数の場合、a以外の係数の幾何平均はと呼ばれる一定の値に収束する。

ただし、この定数が有理数であるか無理数であるかすら分かっておらず（ましてや超越数であるかはなおさらである）、未解決問題となっている。

無理数の連分数展開の例 黄金数 ϕ は x − x − 1 = 0 の正の解である。ϕ を超えない最大の整数が 1 であることを考慮して、この方程式を下記のように変形する。

右辺の x に右辺自体を丸ごと代入して再帰的な形に変形できる。そのため、連分数 [1; 1, 1, 1, ...] を得られる。

より一般的には、x − nx = 1 の正の解を次のように表すことができる。

その他の二次無理数 以下は二次無理数であるため、循環する連分数展開を持つ。

2 の正の平方根

2 の負の平方根

3 の正の平方根

黄金数の逆数

白銀数

白銀数の逆数

超越数 ネイピア数は超越数であり、その連分数展開は循環しないものの一定の規則性を持つ。 ネイピア数 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]() 円周率の正則連分数展開には規則性がないと考えられている。 円周率 = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...]（） 円周率の正則でない連分数で規則性を持つものが存在する。

力学系としての連分数

脚注

参考文献 洋書 William B. Jones and W.J. Thron: Continued Fractions : Analytic Theory and Its Applications, Addison-Wesley (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 11), ISBN 0-20113510-8 (1980). # Cambridge Univ. Press から2009年に再刊行。 William B. Jones, W. J. Thron, Haakon Waadeland (Eds.): Analytic Theory of Continued Fractions, Proc. Seminar-Workshop held at Loen, Norway, 1981, Springer(LNM 932), ISBN 978-3-54039276-7 (1982). Wolfgang J. Thron(Ed.): Analytic Theory of Continued Fractions II, Proc. Seminar-Workshop held in Pitlochry and Aviemore, Scotland June 13–29, 1985, Springer(LNM 1199),ISBN 978-3-54038817-3 (1986). Lisa Jacobsen (Ed): Analytic Theory of Continued Fractions III, Proc. Seminar-Workshop, held in Redstone, USA, June 25-July 5, 1988, Springer, ISBN 978-3-54046820-2 (1989). Claude Brezinski: History of Continued Fractions and Padé Approximants, Springer, ISBN 978-3-64258169-4 (1991年). Lisa Lorentzen and Haakon Waadeland: Continued Fractions with Applications, Horth-Holland, ISBN 0-444-89265-6 (1992年). Serge Lang: Introduction to Diophantine Approximations: New Expanded Edition, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94456-7 (1995年). 　※ 初版は Univ. Chicago Press, 1964. William B. Jones and A. Sri Ranga (Eds.): Orthogonal Functions, Moment Theory, and Continued Fractions: Theory and Applications, CRC Press (Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 199), ISBN 978-0-82470207-6 (1998年7月). Bruce C. Berndt and Fritz Gesztesy (Eds.): Continued Fractions : From Analytic Number Theory to Constructive Approximation : A Volume in Honor of L. J. Lange, AMS (Contemporary Math. 236), ISBN 978-0-82187827-9 (1999年). Fritz Schweiger: Multidimensional Continued Fractions, Oxford Univ. Press, (2000年). Marius losifescu and Cor Kraaikamp: Metrical Theory of Continued Fractions, Springer, ISBN 978-90-481-6130-0 (2002年). Doug Hensley: Continued Fractions, World Scientific, ISBN 978-981-256-477-1 (2006年). Annie Cuyt , Vigdis Brevik Petersen , Brigitte Verdonk , Haakon Waadeland ,and William B. Jones: Handbook of Continued Fractions for Special Functions, Springer, ISBN 978-1-4020-6948-2 (2008). Sergey Khrushchev: Orthogonal Polynomials and Continued Fractions: From Euler's Point of View, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85419-1 (2008). W. B. Jones, W. J. Thron, H. Waadeland (Eds.): Analytic Theory of Continued Fractions, Proc. Seminar-Workshop Held at Loen Norway, 1981, Springer, LNM 932, ISBN 978-3-54011567-0 (2009年2月). William B. Jones and W. J. Thron: Continued Fractions: Analytic Theory and Applications, (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 11), Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-52110152-3 (2009年3月), 再発行版. Annie A.M. Cuyt, Vigdis Petersen, Brigitte Verdonk, Haakon Waadeland and W.B.Jones: Handbook of Continued Fractions for Special Functions, Springer, ISBN 978-9-04817775-2 (2010年10月)。 Wieb Bosma: "Continued Fractions", Lecture note of Radbound University, Netherlands (years 2012-2013). Oleg Karpenkov: Geometry of Continued Fractions, Springer, ISBN 978-3-642-39367-9 (2013年). Jonathan M. Borwein, Alf van der Poorten, Jeffrey Shallit and Wadim Zudilin: Neverending Fractions: An Introduction To Continued Fractions, Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-52118649-0 (2014年). Hubert Stanley Wall: Analytic Theory of Continued Fractions, Dover Publications, ISBN 978-0-48682369-0 (2018年).　※ 初版は Chelsea Pub. (1948年）；デジタル化画像(Internet archive) url="https://archive.org/details/dli.ernet.16804/mode/2up". Tomas Sauer: Continued Fractions and Signal Processing, Springer, ISBN 978-3-030-84360-1 (2021年9月). Gabriela Ileana Sebe and Dan Lascu: Metrical and Ergodic Theory of Continued Fractions, Birkhäuser, ISBN 978-3-03186633-3 (2025年5月）. 和書

※ 主に第1章だが他の章も関係あり。 L.A.リュステルニク、他　(著) ; 宮本敏雄、松野武、須斎由太郎(共訳)：「解析学 1：関数・極限・級数・連分数」、総合図書 (現代応用数学ハンドブック 1)、(1972年10月30日). 高橋磐郎、室谷義昭：「数値計算とその応用」、コロナ社（応用数学講座5）、ISBN 4-339-06024-0 (1979年7月15日）－ 第1章、第2章、第4章。

Daniel Duverney、塩川宇賢(訳)：「数論：講義と演習」、森北出版、ISBN 4-627-08142-1 (2006年3月31日). ※ 第3章："連分数"、第4章:"正則連分数"など。 - ハーディ＆ライト(2001)の復刊。

第38章 おお，なんて美しい関数だこと（299-311頁） 第39章 連分数のでんぐり返り世界（312-326頁） 第40章 連分数，平方根，そしてペル方程式（327-341頁）

木田雅成：「連分数」、近代科学社(大学数学スポットライト・シリーズ)、ISBN 978-4-76490643-3 (2022年1月28日)。 杉山健一：「連分数と楕円積分」、共立出版、ISBN 978-4-320-11575-0 (2025年2月25日)。

関連項目 クリストファー・ヘイブンズ - アメリカの殺人犯。獄中で連分数の論文を書いた。

外部リンク

Continued fraction-Rosetta Code