ユークリッド幾何学における平行移動（へいこういどう、）とは、すべての点を一定の方向に一定の距離だけ動かす変換である。
平行移動は並進まれに併進とも書く。あるいは並進運動 () とも呼ばれる。
平行移動は向きや距離・角度を保ち、非自明なものは不動点を持たない。
一次元の場合、平行移動 は定数 を用いて
と表せる。
概観 平行移動は各点に定ベクトルを加える操作として解釈することや、座標系の原点をずらす操作として解釈することもできる。定ベクトル に対して、 に対応する平行移動 は、点 を だけ動かす写像
として働く。
平行移動は二つの図形の間の一対一対応や、ある平面から別の平面への写像とみることもできる。 が平行移動であるとき、部分集合 の写像 による像を、 の による平行移動と呼ぶ。 が定ベクトル に対応する平行移動 であるとき、 の による平行移動はしばしば と書かれる。
平行移動を剛体運動として記述することもできる（平行移動の他には回転と鏡映）。-次元ユークリッド空間において任意の平行移動は等距変換である。平行移動全体の成す集合は平行移動群 を成す。この群はもとの空間（の加法群）と同型であり、ユークリッド群 の正規部分群である。 の による剰余群は直交群 に同型:
である。
ベクトル変数の写像 に作用する、定ベクトル に対応する平行移動作用素 は
で定義される作用素を言う。
行列表現 非自明な平行移動は不動点を持たないアフィン変換である。一方、行列の積は必ず原点を固定する。 にも拘らず、ベクトル空間の平行移動を行列で表すことが、を用いた回避方法によって一般に行われる。
例えば三次元の場合において、ベクトル は四成分の斉次座標 で表せる。
各点を斉次座標で書いた斉次ベクトル を、定ベクトル だけ平行移動させるには、平行移動行列
を掛ければよい。実際、以下に見るように掛けた結果
は所期のものであることが確認できる。平行移動行列の逆行列は、ベクトルの向きを逆にすればよいから、
で与えられる。同様に、平行移動行列の積は、ベクトルの和に対する平行移動
になる。ベクトルの和は可換であるから、平行移動行列同士の積もそうである（任意の行列の積が非可換であるのとは異なる）。
物理学における平行移動 物理学における平行移動は並進運動とも呼ばれ、物体の位置を変える運動である（回転運動に対照する）。例えば によれば、
平行移動は物体の各点 を
なる形の式に従って変化させる操作である。ただし、 は物体の各点に共通のベクトルとする。この物体の各点に共通の平行移動ベクトル は、（「角」変位 (angular displacement) と呼ばれる回転を含む変位と区別して）ふつう「線型」変位または「直線」変位 (linear displacement) と呼ばれる特定の種類の変位を記述するものである。
時空を考えるとき、時間座標の変化は平行移動であると考えられる。例えば、ガリレイ変換群やポワンカレ群は時間に関する平行移動を含む。
脚注
参考文献
関連項目 移流 回転行列 スケール変換 変換行列
並進対称性
外部リンク
Translation Transform at cut-the-knot Geometric Translation (Interactive Animation) at Math Is Fun Understanding 2D Translation and Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.