290px|right|thumb|Sir William Rowan Hamilton, 1805 - 1865. Hamilton-mekanikk er en formulering av lovene som styrer klassisk mekanikk. Den er komplementær til den alternative formuleringen som kalles for Lagrange-mekanikk. Den ble utviklet rundt 1834 av den irske matematiske fysiker William Rowan Hamilton. Begge er i utgangspunktet basert på Hamiltons fundamentale virkningsprinsipp hvor Lagrange-funksjonen for systemet inngår. Det er nesten ironisk at det var Hamilton som nesten 70 år etter Lagrange viste hvor viktig denne funksjonen er. I Hamilton-mekanikken inngår en partikkels posisjon og impuls på en likeverdig måte. Dermed kommer en dyp, matematisk struktur klart frem, noe som i Lagrange-formuleringen forblir skjult.
Selv om disse to beskrivelsene opprinnelig var ment å benyttes kun for diskrete partikler, har det senere vist seg at de er begge velegnet til å anvendes også på kontinuerlige system som bølger og elektromagnetiske felt. Bruk av Hamiltons mekanikk er sentral i moderne kvantemekanikk hvor Hamilton-funksjonen styrer den dynamiske utviklingen. Derimot for relativistiske systemer beskrevet ved kvantefeltteorier, er det Lagrange-funksjonen som er mest egnet. Dette er forbundet med kravet om alltid å være i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori.
Hamiltons prinsipp
Hamilton viste at de mekaniske lovene kunne utledes fra et nytt virkningsprinsipp. For et system av partikler beskrevet ved de N generaliserte koordinatene som varierer med tiden t, er dette basert på Lagrange-funksjonen
for systemet. Koordinaten q angir en gitt posisjon av systemet i et N-dimensjonalt konfigurasjonsrom. Her er den tidsderiverte = dqn /dt den n-te komponent av hastigheten til en partikkel. Lagrange-funksjonen kan vanligvis finnes ut fra kunnskap om systemets kinetiske og potensielle energier. For en bevegelse som starter i en gitt posisjon ved tiden t = 0 og fortsetter frem til en annen, gitt posisjon ved et senere tidspunkt t, definerte Hamilton integralet
som systemets prinsipale funksjon. I dag kaller man det i stedet for Hamiltons virkning. Han viste at et vilkårlig system vil alltid bevege seg slik at denne virkningen antar en ekstremal verdi som ofte er et minimum. Dette er Hamiltons virkningsprinsipp.
Bevegelsesligningene kan nå utledes ved vanlig variasjonsregning. Under en liten variasjonen q(t) → q(t) + δq(t) av banen vil da virkningen forandres med
etter å ha foretatt en partiell integrasjon. Her er ⋅ - symbolet innført som en mer kompakt notasjon for Einsteins summekonvensjon å summere over komponenter med samme indeks. Siden endepunktene til alle varierte baner er fikserte, vil her δq = 0 slik at randleddet er null. I det gjenstående integralet er derimot variasjonen δq ikke null og derfor må inneholdet av parentesen i integranden være null. Det gir
som er en Euler-Lagrange-ligning for hver variable. Tilsammen utgjør de N andreordens differensialligninger som representerer en generalisering av Newtons tredje lov.
Hamiltons ligninger
For hver posisjonsvariabel qn kan man definere en konjugert impuls
som vanligvis kalles for en komponent av den kanoniske impulsen. Deres variasjon med tiden er gitt av Euler-Lagrange-ligningen som nå kan skrives på formen
Fra ligningen som definerer den kanoniske impulsen, kan man nå uttrykke hastighetskomponentene som en funksjon av qn og pn. Disse to set med variable kan så benyttes som nye variable i problemet. Dette er essensen av Hamiltons nye formulering av de mekaniske lovene.
Dette kan mer systematisk gjennomføres ved å betrakte differensialet
hvor og betraktes som to uavhengige variable. Ved å innføre den kanoniske impulsen, kan dette nå skrives om på formen
På høyre side opptrer ikke lenger differensialet av hastigheten , men i stedet differensialet dp . Det betyr at hva som står på venstre side, er en funksjon av koordinatene q, impulsene p samt tiden t. Dette er Hamilton-funksjonen for systemet definert som
Den eksplisitte formen finnes ved å bruke uttrykket for den kanoniske impulsen til å finne som en funksjon av q og p og så sette dette inn på høyre side i denne definisjonen. Dette skiftet av uavhengige variable, kalles en Legendre-transformasjon som også blir utstrakt brukt innen termodynamikken.
Ved å sammenligne det generelle differensialet
med hva som ble utledet tidligere fra Lagrange-funksjonen, finner man sammenhengene
som er Hamiltons ligninger. Det er 2N slike differensialligninger, alle av første orden, for de uavhengige variable q og p. For å komme frem til den siste Hamilton-ligningen, er den ovenstående Euler-Lagrange-ligningen benyttet. Til hvert tidspunkt angir verdiene for q og p systemets tilstand som et punkt i et 2N-dimensjonal faserom.
I tillegg følger fra den samme utledningen at
En eksplisitt avhengighet av tiden i Hamilton-funksjonen forekommer derfor kun når en slik forefinnes i Lagrange-funksjonen.
Poisson-klammer
I noen praktiske sammenhenger kan man være interessert i å beregne forandringen med tiden av en funksjon A = A(q,p,t) av de dynamiske variable. Denne er gitt ved den totale deriverte
Setter man her inn for og fra Hamiltons ligninger, kan man skrive resultatet som
etter å ha innført Poisson-klammen [A,H] mellom den variable A og Hamilton-funksjonen H definert som
På samme måte defineres Poisson-klammen mellom to vilkårlige variable A = A(q,p,t) og B = B(q,p,t). Den er antisymmetrisk i den forstand at [A,B] = - [B,A] slik at også [A,A] = 0.
Herav følger et viktig resultat. Ser man nå på den totale forandring av selve Hamilton-funksjonen, blir da ganske enkelt
da [H,H] = 0 og hvor ∂ H/∂ t = - ∂ L/∂ t. Det betyr at når det ikke er noen eksplisitt tidshavhengighet i systemet, er Hamilton-funksjonen konstant. Den er en bevart størrelse som er energien til systemet og betegnes vanligvis med bokstaven E.
Man kan merke seg noen spesielle Poisson-klammer. For eksempel er [qk,A] = ∂ A/∂ pk og [pk,A] = - ∂ A/∂ qk slik at begge Hamilton-ligningene kan skrives på samme form
Dette viser klart symmetrien mellom disse to variable i Hamiltons formulering.
Videre finner man lett at [qi ,qj ] = [pi ,pj ] = 0, mens [qi ,pj ] = δi j uttrykt ved Kroneckers deltasymbol δi j . For en partikkel med dreieimpulsen L = r × p har Poisson-klammene mellom komponentene likedan de symmetriske verdiene [Lx ,Ly ] = Lz etc. I kvantemekanikken erstattes Poisson-klammene med kommutatorer mellom de tilsvarende kvanteoperatorene.
Harmonisk oscillator
Som et enkelt eksempel på bruk av Hamilton-formalismen, kan man betrakte en endimensjonal harmonisk oscillator med masse m og utslag q beskrevet ved Lagrange-funksjonen
hvor ω foreløbig er en konstant som bestemmer den potensielle energien. Den kanoniske impulsen er slik at Hamilton-funksjonen
De to Hamilton-ligningene finnes herav å være dq/dt = p/m og dp/dt = - mω 2q . De er begge av første orden og kan løses hver for seg ved å benytte seg at energien E til oscillatoren her er konstant. I den første ligningen kan man derfor benytte at p = √(2mE - m2ω2q2). Det gir differensialligningen
Ved å innføre den nye variable x = √(m/2E) ωq kan denne lett løses ved direkte integrasjon. Resultatet blir
hvor φ0 er en integrasjonskonstant. Oscillatoren svinger derfor periodisk med vinkelfrekvens ω .
Løsningen for impulsen finnes nå fra p = mdq/dt som gir
Det er lett å sjekke at innsetning av disse to løsningene i Hamilton-funksjonen gir den konstante verdien E. I faserommet beskriver bevegelsen en ellipse.
Den prinsipale funksjonen
Det tidsforløpet som systemet får fra løsningen av Euler-Lagrange-ligningene, kalles den klassiske bevegelsen. Fra definisjonen kan man direkte beregne den tilsvarende virkningen som derved blir en funksjon som avhenger av sluttpunktet (q,t) for bevegelsen samt koordinatene til begynnelsespunktet q0 . Denne klassiske virkningen S = S(q,t,q0 ) ble av Hamilton kalt for den prinsipale funksjonen. Fra definisjonen følger direkte at dS/dt = L slik at
Den deriverte ∂S /∂q kan finnes ved å betrakte to nærliggende, klassiske bevegelser som starter i samme punkt, men ender i to nærliggende punkt separert med δq ved et senere tidspunkt t. Disse to bevegelsene vil ha litt forskjellig, klassisk virkning δS som kan leses ut fra den opprinnelige variasjonsregningen som ga Euler-Lagrange-ligningen. Kun randleddet vil nå bidra slik at δS = p⋅δq som betyr at
Innsatt i uttrykket over, betyr det at
som følger fra definisjonen av Hamilton-funksjonen H = H(q,p,t). Uttrykker man i denne impulsen som den deriverte ∂S /∂q, fremkommer dermed differensialligningen
Løsningen av denne vil gi den prinsipale funksjonen og dermed all informasjon om bevegelsen. Hvordan dette er mulig, ble først avklart 1842 - 1843 av den tyske matematiker Carl Gustav Jacob Jacobi. Den kalles derfor for Hamilton-Jacobi-ligningen.
Hamiltons virkningsprinsipp i faserommet
Som samme måte som Euler-Lagrange-ligningene kan utledes fra Hamiltons virkningsprinsipp, kan dette også gjøres for Hamiltons ligninger. Brukes sammenhengen mellom Lagrange-funksjonen og Hamilton-funksjonen, kan Hamiltons virkning skrives som
I integranden inngår nå q og p som uavhengige variable. En infinitesemal variasjon av disse resulterer i en variasjon
av virkningen. I andre ledd kan man benytte at δdq = dδq som etter en partiell integrasjon gir
Her er randleddet null da δq = 0 i begge endepunktene av integrasjonen. Under integralene er δq og δp forskjellige fra null. For at variasjonen δS = 0 må derfor begge parentesene i integralene være null. Det gir nå de to Hamilton-ligningene.
Maupertuis' virkningsprinsipp
I en beskrivelse av et mekanisk system basert på Hamiltons virkningsprinsipp δS = 0 betrakter man varierte baner som går fra et gitt begynnelsespunkt ved en gitt tid og som alle ankommer samtidig i et bestemt sluttpunkt ved et senere tidspunkt. De varierte bevegelsene vil derfor i alminnelighet ha annen energi enn den klassiske bevegelsen.
Oppgir man kravet om at de varierte banene skal ankomme til samme tidspunkt, er det mulig å reformulere dette virkningsprinsippet slik at man bare betrakter varierte baner med samme energi E. Variasjonen av virkningen vil derfor da måtte tilfredsstille δS + Eδt = 0. Fra den generelle definisjonen av Hamiltons virkning har man i dette tilfellet at
Det betyr at det nye virkningsprinsippet kan skrives som δW = 0 hvor W = W(q,E,q0 ) er Maupertuis' virkning
Dette er Maupertuis' virkningsprinsipp som ble funnet allerede på midten av 17-hundreårstallet. Variasjonen δW utføres her mellom et gitt begynnelsespunkt og sluttpunkt for bevegelsen under den betingelse at alle varierte baner har samme energi.
Hamilton så at dette virkningsprinsippet spiller samme rollen i mekanikken som Fermats prinsipp gjør i optikken. Denne nye virkningen kalte han for den karakteristiske funksjonen som er analog til den optiske veilengden i geometrisk optikk. Den tyske matematiker Carl Gustav Jacob Jacobi bidro til å avklare de matematiske aspektene ved disse forskjellige formuleringene.
Sammenhengen S = W - Et kan sees på som en Legendre-transformasjon hvor man erstatter den variable t i funksjonen S med den variable E i funksjonen W. Da blir δS = δW - Eδt - tδE . Men da δS + Eδt = 0 , må vi derfor ha δW = Eδt . Det betyr at
som er hva man venter ved en slik transformasjon av variable. Dette resultatet kan brukes til å bestemme tidsforløpet av en bevegelse når Hamiltons karakteristiske funksjon W er kjent.
Kanoniske transformasjoner
I Lagrange-funksjonen er ikke valget av den N generaliserte koordinater q = (q1, q2, ... , qN) entydig. Et annet valg Q = Q(q,t) vil gi de samme Euler-Lagrange-ligningene. En slik forandring av koordinatene, kalles en punkttransformasjon. Hva man velger å bruke i praksis, bestemmes vanligvis av den matematiske forenkling i løsningen man kan oppnå i noen tilfeller.