Matematik

miniatyr|Euklides är den mest framträdande av antikens matematiker, bäst känd för sitt verk Elementa. Här avbildas Euklides med passare när han undervisar sina elever i geometri, i Rafaels freskomålning Skolan i Aten.

Matematik (från grekiska: Μαθηματικά) är en abstrakt och generell vetenskap om problemlösning och metodutveckling: abstrakt därför att den har frigjort sig från problemens konkreta ursprung, och generell därför att den kan tillämpas inom ett stort antal områden och teoretiska modeller. Matematik kan också beskrivas som vetenskapen om kvantitativa relationer och rumsliga former i den verkliga världen. Exempel på matematiska begrepp är tal, data, struktur, kvantiteter, rum och förhållandena mellan dessa. Begreppen kan studeras som abstrakta objekt i sig (ren matematik) eller tillämpas inom vetenskapliga discipliner som fysik och teknik (tillämpad matematik).

Medan naturvetenskapen studerar företeelser i tid och rum är det inte självklart att detsamma gäller för de objekt som matematiken studerar. Även metoderna skiljer sig åt: naturvetenskapen använder främst induktiva metoder och matematiken deduktiva. Bland annat av dessa skäl väcker matematiken ontologiska och kunskapsteoretiska frågor som skiljer sig från vetenskapsteorins. Frågorna behandlas inom matematikfilosofi.

Etymologi Det grekiska ordet mathemata betyder ungefär ”det som lärs”, ibland i allmän bemärkelse och ibland med syftning på astronomi, aritmetik och musik. Ordet hör ihop med substantivet mathema (μάθημα), som betyder ”lärdom”, ”kunskap” eller ”studium”. Mathema kommer i sin tur av verbet manthanein (μανθάνειν), ”att lära sig”.

Ordet mathemata och dess släktord har gett upphov till motsvarande ord i andra europeiska språk. Latinets mathematica, franskans mathématiques, spanskans matemáticas och engelskans mathematics har alltså ett gemensamt ursprung. Vad ordet matematik omfattar har aldrig varit enhetligt, utan har varierat genom historien och mellan regioner som Europa, Kina och Mellanöstern. I matematikhistorisk forskning söker man efter motsvarande ord i andra kulturer, och genom att undersöka dessa ord och de verksamheter som förknippats med dem har ämnet vuxit fram.

I svenskan betecknar matematik skolämnet eller vetenskapen, som i ”lärobok i matematik” och ”professor i matematik”. I vardagligt tal kan ”det är matematik” syfta på aritmetik i betydelsen ”det är lätt att räkna ut”.

Den vardagliga kortformen matte för skolämnet är enligt Svenska Akademiens ordbok belagd sedan 1924. De engelska motsvarigheterna är math (amerikansk engelska) och maths (brittisk engelska, belagt sedan 1890).

Historia

miniatyr|Rhindpapyrusen i British Museum. Texten består av 84 problem om räkneoperationer, praktisk problemlösning och geometriska former.

Matematiken har en minst 4000 år lång historia. Enligt vissa går den längre tillbaka än så; i Sumer i södra Mesopotamien, i nuvarande Irak, utvecklades matematik i samband med skrivkonsten och läsandet för omkring 5000 år sedan. Mycket av vår äldsta kunskap om människans användning av matematik kommer från det forntida Egypten och Babylonien. Matematik har också utvecklats inom bland annat den grekiska, arabiska, kinesiska, indiska och mayanska kulturen. Bland de områden som behandlats genom historien finns algebra, analys, tal och talteori, geometri och topologi, matematisk fysik och matematisk astronomi.

Den förste matematikern som är känd till namnet är Ahmes, en egyptisk skrivare som omkring 1650 f.Kr. skrev ned en samling matematiska problem som han uppgav sig ha hämtat ur äldre skrifter. Texten är i dag känd som Rhindpapyrusen. Tillsammans med andra arkeologiska fynd som Plimpton 322 (Babylonien, mellan 1900 och 1600 f.Kr.) och Moskva-papyrusen (Egypten, Mellersta riket, omkring 1700 f.Kr.) visar den att det forntida Egypten och Babylonien, civilisationer som föregick Antikens Grekland, hade välutvecklade system för att skriva tal.

Enligt en klassisk periodindelning framträdde matematiken som en självständig vetenskap i Antikens Grekland under 500- och 400-talen f.Kr. Grekernas deduktiva framställning av geometrin, med Euklides Elementa som mest kända exempel, förblev i mer än två tusen år förebilden för hur en matematisk teori byggs upp. Under 1600-talet ledde naturvetenskapens behov av att beskriva rörelse och förändring till analytisk geometri och differential- och integralkalkylen. Under 1800-talet drevs utvecklingen i allt högre grad av matematikens egna frågor, med bland annat funktionsteorin för komplexa variabler och Lobatjevskijs icke-euklidisk geometri. Samtidigt skärptes kraven på logisk stringens, och frågan om matematikens grunder behandlades inom mängdteori och matematisk logik.

Matematiker Norman L. Biggs skriver i sin lärobok Discrete Mathematics: ”Matematiker behandlar påståenden. Oftast handlar påståendena om tal. Påståendena kan vara sanna eller falska. För att avgöra om ett påstående är sant eller falskt krävs ett bevis.”

Notation och terminologi

Matematiska begrepp införs med definitioner som anger hur begreppen ska tolkas. Här presenteras några grundläggande begrepp i modern matematik. Beskrivningarna är i huvudsak inte formella definitioner utan förklaringar av hur begreppen används.

Mängder En mängd är en samling objekt, mängdens element. Mängden {1, 2, 3} är ändlig, medan {1, 2, 3, ...} är oändlig; punkterna markerar att uppräkningen fortsätter. En mängd utan element kallas den tomma mängden. Om alla element i en mängd också tillhör en annan mängd är den förstnämnda en delmängd av den andra. Av två mängder kan man bilda deras snitt, de element som tillhör båda mängderna, och deras union, de element som tillhör minst en av dem. Komplementet till en mängd består av de element som inte tillhör mängden men som tillhör en given grundmängd. Mängder och operationer på mängder studeras inom mängdteori, där Zermelo-Fraenkels mängdteori är det vanligaste axiomsystemet.

Funktioner En funktion ordnar till varje element i en mängd, definitionsmängden, exakt ett element i en annan mängd, målmängden. Mängden av de värden som funktionen faktiskt antar kallas värdemängden. I skolmatematiken är definitions- och värdemängderna oftast delmängder av de reella talen .

Tal Matematikens talsystem omfattar bland annat de naturliga talen, heltalen, de rationella talen, de reella talen och de komplexa talen. Varje talsystem kan konstrueras ur det föregående, med de naturliga talen som grund:

Nedan beskrivs i korthet en sådan uppbyggnad, där de naturliga talen definieras med Peanos axiom. Ett axiom är här ett grundantagande som inte härleds ur andra påståenden.

De naturliga talen Med de naturliga talen avses här de icke-negativa heltalen 0, 1, 2, … . Intuitivt får man dem genom att börja med 0 och sedan upprepade gånger lägga till 1. Den beskrivningen är dock inte formell, eftersom den förutsätter att addition redan är definierad. En formell grund ges av Peanos axiom:

Det finns en mängd med ett element 0 och en funktion , efterföljarfunktionen, sådana att

Talet kallas efterföljaren till och motsvarar det som vanligen skrivs . Axiom (i) säger att 0 inte är efterföljare till något tal, och axiom (ii) att olika tal har olika efterföljare. Tillsammans medför de att följden 0, s(0), s(s(0)), … aldrig upprepar sig, så att är oändlig. Axiom (iii) är principen om matematisk induktion: om en egenskap P(n) gäller för 0, och det för varje n gäller att P(n) medför P(n+1), så gäller P(n) för alla naturliga tal. Det ser man genom att tillämpa axiomet på mängden .

Addition och multiplikation definieras rekursivt med hjälp av efterföljarfunktionen:

Addition: och . Att addera n till m innebär alltså att tillämpa s n gånger på m.

Multiplikation: och . Multiplikation är alltså upprepad addition.

Med hjälp av induktionsaxiomet kan man visa att operationerna är väldefinierade för alla naturliga tal och uppfyller de vanliga räknelagarna, till exempel den kommutativa, den associativa och den distributiva lagen.

Ordning: (”m är större än eller lika med n”) om ekvationen har en lösning . Om lösningen är är , och om skriver man . Eftersom gäller för alla n, och saknar därför ett största element.

Subtraktion är däremot inte alltid möjlig inom ; till exempel saknar ekvationen lösning bland de naturliga talen.

Heltalen Heltalen = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} utvidgar de naturliga talen så att subtraktion alltid är möjlig. De kan konstrueras som klasser av par (a, b) av naturliga tal, där paret representerar differensen a − b och två par (a, b) och (c, d) räknas som samma heltal om a + d = b + c. De naturliga talen kan då uppfattas som en delmängd av heltalen.

De rationella talen De rationella talen är kvoter av heltal med . De kan konstrueras som klasser av par (a, b) av heltal med b ≠ 0, där (a, b) och (c, d) räknas som samma tal om ad = bc. I är division med tal skilda från noll alltid möjlig.

De reella talen Vissa storheter, till exempel , kan inte skrivas som kvoter av heltal. De reella talen fyller ut dessa luckor på tallinjen. De kan konstrueras ur de rationella talen, till exempel med Dedekindsnitt enligt Richard Dedekind eller med Cauchyföljder. Till skillnad från de rationella talen har varje uppåt begränsad, icke-tom mängd av reella tal en minsta övre begränsning.

De komplexa talen De komplexa talen kan konstrueras som par av reella tal och skrivs a + bi, där . I har varje polynomekvation av grad minst ett en lösning (algebrans fundamentalsats).

Rum En vektor kan i det enklaste fallet ses som en ordnad lista av tal, vektorns komponenter, och tolkas som en punkt eller en riktad sträcka i ett koordinatsystem. Punkter och vektorer kan i sin tur användas för att beskriva geometriska figurer. Mer allmänt är en vektor ett element i ett vektorrum, en mängd där addition och multiplikation med tal är definierade och uppfyller vissa grundläggande räkneregler. Även andra objekt än tallistor, till exempel polynom, kan på så sätt behandlas som vektorer.

Matematisk notation Matematisk notation består av symboler som gör det möjligt att uttrycka matematiska idéer koncist. Tecknen + för addition och − för subtraktion började till exempel användas i Europa under senmedeltiden och förekom i tryck för första gången 1489, i en räknebok av Johannes Widmann.

Delområden

Aritmetik

Läran om tal och räkneoperationer på tal kallas aritmetik. Till de aritmetiska operationerna hör addition, subtraktion, multiplikation och division, som kallas de fyra räknesätten, samt potenser (att upphöja ett tal till en exponent). Aritmetiken omfattar också faktorisering (uppdelning av ett tal i faktorer vars produkt är talet) och kongruensrelationer (att två tal ger samma rest vid division med ett givet tal). Operatorprioriteten avgör i vilken ordning olika delar av ett matematiskt uttryck ska beräknas. Aritmetiken var ett av de fyra ämnena i quadrivium vid de medeltida universiteten.

Geometri Geometri är läran om rumsliga strukturer. Under 1600-talet formulerade René Descartes geometriska problem med algebraiska metoder, vilket gav upphov till analytisk geometri. En följd av detta var att olika kägelsnitt kunde beskrivas med korta ekvationer och att plana geometriska figurer kunde avbildas i ett kartesiskt koordinatsystem. Trigonometrin studerar sambanden mellan vinklar och sidor i trianglar och är nära förbunden med geometrin. I modern tid har topologin blivit ett viktigt område. Den studerar egenskaper som bevaras när ett objekt töjs, böjs eller trycks ihop utan att rivas sönder eller klistras ihop. Avstånd och vinklar spelar därför ingen roll, medan till exempel antalet hål bevaras.

Algebra